1 . 个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，称为维信号向量．设，则和的内积定义为，且．
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．
(3)已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：．

2 . 如图，在边长为4的正三角形中，分别为上的两点，且，，相交于点P.

(1)求的值；
(2)试问：当为何值时，?
(3)求证：.

3 . 如图，在三棱锥中，的中点分别为．

(1)求的长；
(2)证明：平面平面；
(3)求平面和平面夹角的余弦值．

4 . 设△ABC外心为O，重心为G．取点H，使．求证：
(1)H是△ABC的垂心；
(2)O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2．

6 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆交于、两点，，为椭圆上任意一点，且的最大值为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的上顶点作两条不同的直线，分别交椭圆于另一点和（异于），若直线、的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.

7 . 分别在平面直角坐标系中作出下列各组点，猜想以A，B，C为顶点的三角形的形状，然后给出证明：
（1）；
（2）；
（3）.

8 . 用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.