解题方法
1 . 已知向量
满足
，
与
的夹角为
，则当实数
变化时，
的最小值为______ ．
满足，与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为
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名校
解题方法
2 . 
、
、
三点在半径为
的圆
上运动，且
，
是圆外一点，
，则
的最大值是___________ ．
、、三点在半径为的圆上运动，且，是圆外一点，，则的最大值是
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2023-09-07更新
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480次组卷
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8卷引用：北京市首都师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题
北京市首都师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题浙江省丽水市2022-2023学年高一下学期6月期末数学试题浙江省宁波市北仑中学2023-2024学年高二上学期期初考试数学试题（已下线）第四节 平面向量的综合应用 B素养提升卷（已下线）重难专攻(六) 平面向量的最值问题 A素养养成卷（已下线）专题突破卷14 平面向量的最值范围问题（已下线）专题1.9 平面向量的最值范围-重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019必修第二册）（已下线）6.4.1 平面几何中的向量方法-同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第二册）
名校
解题方法
3 . 莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形
的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知
两点间的距离为2，点
为
上的一点，则
的最小值为______ ．
的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为
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2023-03-16更新
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1798次组卷
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10卷引用：北京市陈经纶中学2022-2023学年高一下学期期中诊断数学试题
名校
解题方法
4 . 如图，单位向量
，
的夹角为
，点在以为圆心，1为半径的弧
上运动，则
的最小值为______ ．
，的夹角为，点在以为圆心，1为半径的弧上运动，则的最小值为
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2023-02-25更新
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2404次组卷
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8卷引用：北京市八一学校2023-2024学年高三下学期开学摸底考试数学试题
名校
解题方法
5 . 已知直角梯形
中，
，
，
，
，是腰
上的动点，则
的最小值为______ .
中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为
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2020-03-04更新
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2666次组卷
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23卷引用：北京市第四中学2023届高三上学期12月阶段性测试数学试题
（已下线）北京市第四中学2023届高三上学期12月阶段性测试数学试题2016-2017学年河北武邑中学高一周考12.4数学试卷（已下线）专题5.3 平面向量的数量积（讲）【理】—《2020年高考一轮复习讲练测》上海市宜川中学2017-2018学年高二上学期阶段测试数学试题人教A版(2019) 必修第二册 逆袭之路 第六章 6.4 平面向量的应用 6.4.2 向量在物理中的应用举例江西省临川二中2019届高三第一次月考数学文科试题甘肃省武威第六中学2020届高三下学期第二次诊断考试数学（文）试题（已下线）题型02 向量的几何运算与代数运算-2020届秒杀高考数学题型之平面向量（已下线）专题5.3 平面向量的数量积及其应用（精讲）-2021届高考数学（理）一轮复习讲练测（已下线）6.4.1 平面向量在几何和物理中的运用（精练）-2020-2021学年高一数学一隅三反系列（人教A版2019必修第二册）（已下线）题型02 平面向量运算-2021年高考数学题型秒杀之平面向量上海市静安区2021届高三二模数学试题（已下线）考点34 平面向量的应用举例-备战2021年高考数学经典小题考前必刷（新高考地区专用）（已下线）专题24 平面向量的几何运算与坐标运算-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破上海市南洋模范中学2020-2021学年高一下学期5月月考数学试题（已下线）第04讲 平面向量万能建系法5种常见题型（2）上海市市北中学2023届高三下学期3月月考数学试题江苏省盐城市阜宁中学2022-2023学年高一下学期第一次综合测试数学试题山东省济宁市第一中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题2023版 湘教版(2019) 必修第二册 过关斩将 第1章 1.5 向量的数量积 1.5.2 数量积的坐标表示及其计算（已下线）第三节 平面向量的数量积及应用（讲）（已下线）第八章 平面向量（知识归纳+题型突破）（2）-单元速记·巧练（沪教版2020必修第二册）（已下线）第八章 平面向量（6大易错与4大拓展）-单元速记·巧练（沪教版2020必修第二册）
名校
6 . 如图，在等边三角形中，
，点
为
的中点，点是边
（包括端点）上的一个动点，则
的最小值是________ .
中，，点为的中点，点是边（包括端点）上的一个动点，则的最小值是
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2019-05-10更新
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1145次组卷
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7卷引用：2020届北京市清华大学附属中学高三第一学期（12月）月考数学试题
2020届北京市清华大学附属中学高三第一学期（12月）月考数学试题（已下线）专题12 平面向量-2020年高考数学母题题源解密（北京专版）（已下线）专题09 少丢分题目强化卷（第二篇）-备战2021年新高考数学分层强化训练（北京专版）【市级联考】河北省邯郸市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题天津市武清区杨村一中2019-2020学年高三上学期第一次月考数学试题山西省怀仁市2021届高三上学期期中数学（理）试题河南省焦作市县级重点中学2021-2022学年高三上学期期中考试理科数学试题
10-11高三·江苏扬州·阶段练习
名校
7 . 正方形边长为，点在线段上运动，则
的取值范围为__________ ．
边长为，点在线段上运动，则的取值范围为
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2021-03-31更新
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3456次组卷
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18卷引用：北京市第二中学2022届高三5月模考数学试题
北京市第二中学2022届高三5月模考数学试题（已下线）2012届江苏省扬州中学高三练习数学上海市金山中学2019-2020学年高二上学期9月月考数学试题江苏省泰州中学2020-2021学年高一下学期第一次月度检测数学试题上海市金山区金山中学2020-2021学年高二上学期9月月考数学试题重庆市清华中学2020-2021学年高一下学期第二次月考数学试题河北省定州市2020-2021学年高一下学期期中数学试题江苏省无锡市天一中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题湖北省荆门市钟祥市实验中学2020-2021学年高一下学期期中数学试题江苏省镇江市丹阳高级中学2020-2021学年高一(1-16班，20班)下学期5月大练数学试题四川省泸州市泸县第一中学2020-2021学年高一下学期第一次阶段性数学理科试题黑龙江省哈尔滨市第六中学校2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题苏教版(2019) 必修第二册 过关斩将 章节测试 第9章 平面向量苏教版(2019) 必修第二册 过关斩将 第9章 9.4 向量应用广东省深圳市福田区外国语高级中学2023届高三上学期第二次调研数学试题广东省普宁市华美实验学校2023届高三上学期第二次月考数学试题广东省梅州市大埔县虎山中学2022-2023学年高三上学期第三次教学质量检测数学试题（已下线）第04讲 平面向量万能建系法5种常见题型（2）
8 . 已知正方形边长为
，
为边上一点，则
的最小值为__________ ．
边长为，为边上一点，则的最小值为
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9 . 如图，在直角梯形中，
，若
分别是线段和
上的动点，则
的取值范围是 __________ ．
中，，若分别是线段和上的动点，则的取值范围是
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2017-05-09更新
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1121次组卷
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6卷引用：北京市清华附中2017-2018学年第一学期高一期末数学试题
名校
解题方法
10 . 如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M，N分别为半径OP，OQ的中点，A为
上任意一点，则
的取值范围是______________ ．
上任意一点，则的取值范围是
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2017-10-27更新
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1808次组卷
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5卷引用：北京市中国人民大学附属中学2019-2020学年高一年级第二学期阶段检测试数学试题
北京市中国人民大学附属中学2019-2020学年高一年级第二学期阶段检测试数学试题2015届江苏省徐州市高三第三次质量检测数学试卷2016届安徽师大附中高三最后一卷理科数学试卷江苏省仪征中学2018届高三10月学情检测数学试题（已下线）考点58 平面向量的应用（练习）-2021年高考数学复习一轮复习笔记
