1 . 对于数列,记,称数列为数列的一阶差分数列;记,称数列为数列的二阶差分数列,…,一般地,对于,记,规定:,称为数列的阶差分数列.对于数列,如果(为常数),则称数列为阶等差数列.
(1)数列是否为阶等差数列,如果是,求值,如果不是,请说明为什么?
(2)请用表示,并归纳出表示的正确结论(不要求证明);
(3)请你用(2)归纳的正确结论,证明:如果数列为阶等差数列,则其前项和为;
(4)某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”,巧合用了2024个球.第1层有1个球,第2层有3个,第3层有6个球,…,每层都摆放成“正三角形”,从第2层起,每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球,问:这位同学共堆积了多少层?
(1)数列是否为阶等差数列,如果是,求值,如果不是,请说明为什么?
(2)请用表示,并归纳出表示的正确结论(不要求证明);
(3)请你用(2)归纳的正确结论,证明:如果数列为阶等差数列,则其前项和为;
(4)某同学用大小一样的球堆积了一个“正三棱锥”,巧合用了2024个球.第1层有1个球,第2层有3个,第3层有6个球,…,每层都摆放成“正三角形”,从第2层起,每层“正三角形”的“边”都比上一层的“边”多1个球,问:这位同学共堆积了多少层?
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名校
2 . 设和是两个等差数列,记,其中表示,,,这个数中最大的数.
(1)若,,求,,的值;
(2)若为常数列,证明是等差数列;
(3)证明:或者对任意正数,存在正整数,当时,;或者存在正整数,使得,,,,是等差数列.
(1)若,,求,,的值;
(2)若为常数列,证明是等差数列;
(3)证明:或者对任意正数,存在正整数,当时,;或者存在正整数,使得,,,,是等差数列.
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名校
解题方法
3 . 记数列的前项和为,数列的前项和为. 已知,.
(1)求的通项公式;
(2)求证:.
(1)求的通项公式;
(2)求证:.
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名校
4 . 若无穷数列满足:,对于,都有(其中为常数),则称具有性质“”.
(1)若具有性质“”,且,,,求;
(2)若无穷数列是等差数列,无穷数列是公比为2的等比数列,,,,判断是否具有性质“”,并说明理由;
(3)设既具有性质“”,又具有性质“”,其中,,,求证:具有性质“”.
(1)若具有性质“”,且,,,求;
(2)若无穷数列是等差数列,无穷数列是公比为2的等比数列,,,,判断是否具有性质“”,并说明理由;
(3)设既具有性质“”,又具有性质“”,其中,,,求证:具有性质“”.
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2024-01-17更新
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592次组卷
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4卷引用:北京市东直门中学2024届高三下学期开学检测数学试题
5 . “太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦……”,“大衍数列”来源于《乾坤谱》,用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.“大衍数列”的前几项分别是:0,2,4,8,12,18,24,…,且满足其中.
(1)求(用表示);
(2)设数列满足:其中,是的前项的积,求证:,.
(1)求(用表示);
(2)设数列满足:其中,是的前项的积,求证:,.
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2023-11-11更新
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1159次组卷
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4卷引用:福建省莆田市第二中学2023-2024学年高二下学期返校考试数学试卷
福建省莆田市第二中学2023-2024学年高二下学期返校考试数学试卷(已下线)专题10 数列不等式的放缩问题 (7大核心考点)(讲义)江苏省盐城市2023-2024学年高三上学期期中数学试题重庆市2024届高三上学期11月月度质量检测数学试题
名校
6 . 若项数为的有穷数列满足:,且对任意的,或是数列中的项,则称数列具有性质.
(1)判断数列是否具有性质,并说明理由;
(2)设数列具有性质,是中的任意一项,证明:一定是中的项;
(3)若数列具有性质,证明:当时,数列是等差数列.
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2023-05-10更新
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1193次组卷
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5卷引用:湖南省长沙市雅礼中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题
7 . 记无穷数列的前n项中最大值为,最小值为,令.
(1)若,请写出的值;
(2)求证:“数列是递增的等差数列”是“数列是递增的等差数列”的充要条件;
(3)若,求证:存在,使得,有.
(1)若,请写出的值;
(2)求证:“数列是递增的等差数列”是“数列是递增的等差数列”的充要条件;
(3)若,求证:存在,使得,有.
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2023-03-26更新
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476次组卷
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2卷引用:北京市第八十中学2024届高三下学期开学考试数学试卷
名校
解题方法
8 . 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型,也是机器学习和人工智能的基石,在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为:假设我们的序列状态是…,,,,,…,那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态,即.
现实生活中也存在着许多马尔科夫链,例如著名的赌徒模型.
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏,每一局赌徒赌赢的概率为,且每局赌赢可以赢得1元,每一局赌徒赌输的概率为,且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去,直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏:一种是手中赌金为0元,即赌徒输光;一种是赌金达到预期的B元,赌徒停止赌博.记赌徒的本金为,赌博过程如下图的数轴所示.当赌徒手中有n元(,)时,最终输光的概率为 ,请回答下列问题:
(1)请直接写出与的数值.
(2)证明是一个等差数列,并写出公差d.
(3)当时,分别计算,时,的数值,并结合实际,解释当时,的统计含义.
现实生活中也存在着许多马尔科夫链,例如著名的赌徒模型.
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏,每一局赌徒赌赢的概率为,且每局赌赢可以赢得1元,每一局赌徒赌输的概率为,且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去,直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏:一种是手中赌金为0元,即赌徒输光;一种是赌金达到预期的B元,赌徒停止赌博.记赌徒的本金为,赌博过程如下图的数轴所示.当赌徒手中有n元(,)时,
(1)请直接写出与的数值.
(2)证明是一个等差数列,并写出公差d.
(3)当时,分别计算,时,的数值,并结合实际,解释当时,的统计含义.
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2023-04-06更新
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10825次组卷
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20卷引用:辽宁省沈阳市第二中学2024届高三下学期开学考试数学试题
辽宁省沈阳市第二中学2024届高三下学期开学考试数学试题(已下线)概 率专题14条件概率与全概率公式(已下线)专题03 条件概率与全概率公式(2)(已下线)专题04 概率统计大题(已下线)专题8-2分布列综合归类-2(已下线)湖南省郴州市2024届高三一模数学试题变式题17-22(已下线)专题6 全概率与数列结合问题河南省信阳市新县高级中学2024届高三下学期适应性考试(八)数学试题单元测试B卷——第七章 随机变量及其分布浙江省杭州市2023届高三下学期教学质量检测(二模)数学试题(已下线)专题10 计数原理与概率统计(理科)(已下线)模块二 专题4 条件概率与全概率公式(已下线)专题08 概率统计及计数原理(已下线)押新高考第19题 概率统计江西省景德镇一中2022-2023学年高二(19班)下学期期中考试数学试题湖南师范大学附属中学2023届高三三模数学试题(已下线)第四篇 概率与统计 专题6 随机游走与马尔科夫过程 微点1 随机游走与马尔科夫链广东省佛山市南海区第一中学2024届高三上学期10月月考数学试题(已下线)重难点突破01 概率与统计的综合应用(十八大题型)-3
名校
9 . 已知{}是公差不为0的无穷等差数列.若对于{}中任意两项,,在{}中都存在一项,使得,则称数列{}具有性质P.
(1)已知,判断数列{},{}是否具有性质P;
(2)若数列{}具有性质P,证明:{}的各项均为整数;
(3)若,求具有性质P的数列{}的个数.
(1)已知,判断数列{},{}是否具有性质P;
(2)若数列{}具有性质P,证明:{}的各项均为整数;
(3)若,求具有性质P的数列{}的个数.
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2022-07-09更新
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790次组卷
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7卷引用:北京市第四中学2023-2024学年高三下学期开学测试数学试卷
(已下线)北京市第四中学2023-2024学年高三下学期开学测试数学试卷(已下线)4.1 等差数列(第1课时)(十大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(沪教版2020选择性必修第一册)(已下线)模块三 专题2 新定义专练【高二下人教B版】北京市西城区2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题(已下线)4.2.1-4.2.2 等差数列的概念和通项公式-2022-2023学年高二数学《基础·重点·难点 》全面题型高分突破(苏教版2019选择性必修第一册)(已下线)4.2.1等差数列的概念(第1课时)(分层作业)-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列(人教A版2019选择性必修第二册)北京市海淀区中央民族大学附属中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
10 . 已知数列的前项和为,,给出以下三个命题:
①;②是等差数列;③
(1)从三个命题中选取两个作为条件,另外一个作为结论,并进行证明;
(2)利用(1)中的条件,证明数列的前项和.
①;②是等差数列;③
(1)从三个命题中选取两个作为条件,另外一个作为结论,并进行证明;
(2)利用(1)中的条件,证明数列的前项和.
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2022-02-22更新
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678次组卷
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3卷引用:黑龙江省大庆市大庆实验中实验二部2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题