名校
1 . 若数列
的子列
均为等差数列，则称为k阶等差数列．
(1)若
，数列
的前15项与
的前15项中相同的项构成数列
，写出的各项，并求的各项和；
(2)若数列既是3阶也是4阶等差数列，设
的公差分别为
．
（ⅰ）判断的大小关系并证明；
（ⅱ）求证：数列是等差数列．
的子列均为等差数列，则称为k阶等差数列．(1)若
，数列的前15项与的前15项中相同的项构成数列，写出的各项，并求的各项和；(2)若数列
既是3阶也是4阶等差数列，设的公差分别为．（ⅰ）判断
的大小关系并证明；（ⅱ）求证：数列
是等差数列．
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2022-11-02更新
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452次组卷
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3卷引用：北京市大兴区2023届高三上学期期中检测数学试题
21-22高一下·上海浦东新·期末
名校
解题方法
2 . 记
是公差不为
的等差数列的前
项和，已知
，
，数列满足
，且
．
(1)求的通项公式；
(2)证明数列
是等比数列，并求的通项公式；
(3)求证：对于任意正整数，
．
是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且．(1)求
的通项公式；(2)证明数列
是等比数列，并求的通项公式；(3)求证：对于任意正整数
，．
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3 . 若数集M至少含有3个数，且对于其中的任意3个不同数a，b，c（a＜b＜c），a，b，c都不能成为等差数列，则称M为“α集”．
（1）判断集合{1，2，4，8，⋯，2n}（n∈N*，n≥3）是否是α集？说明理由；
（2）已知k∈N*，k≥3．集合A是集合{1，2，3，⋯，k}的一个子集，设集合B＝{x+2k﹣1|x∈A}，求证：若A是α集，则A∪B也是α集；
（3）设集合
，判断集合C是否是α集，证明你的结论．
（1）判断集合{1，2，4，8，⋯，2n}（n∈N*，n≥3）是否是α集？说明理由；
（2）已知k∈N*，k≥3．集合A是集合{1，2，3，⋯，k}的一个子集，设集合B＝{x+2k﹣1|x∈A}，求证：若A是α集，则A∪B也是α集；
（3）设集合
，判断集合C是否是α集，证明你的结论．
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4 . 设数集
满足：①任意
，有
；②任意
、
，有
或
，则称数集具有性质
.
（1）判断数集
是否具有性质，并说明理由；
（2）若数集
且
具有性质.
（i）当
时，求证：
、
、
、
是等差数列；
（ii）当、、、不是等差数列时，写出的最大值.（结论不需要证明）
满足：①任意，有；②任意、，有或，则称数集具有性质.（1）判断数集
是否具有性质，并说明理由；（2）若数集
且具有性质.（i）当
时，求证：、、、是等差数列；（ii）当
、、、不是等差数列时，写出的最大值.（结论不需要证明）
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2021-09-26更新
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579次组卷
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7卷引用：重难点08 七种数列数学思想方法-2
5 . 若有穷数列满足
且对任意的
，
至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质
（1）判断数列1，2，4，8是否具有性质P，并说明理由；
（2）设项数为
的数列具有性质，求证：
；
（3）若项数为的数列具有性质，写出一个当
时，不是等差数列的例子，并证明当
时，数列是等差数列
满足且对任意的，至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质（1）判断数列1，2，4，8是否具有性质P，并说明理由；
（2）设项数为
的数列具有性质，求证：；（3）若项数为
的数列具有性质，写出一个当时，不是等差数列的例子，并证明当时，数列是等差数列
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2020-12-25更新
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584次组卷
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6卷引用：考向17 数列新定义-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）
（已下线）考向17 数列新定义-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）上海市嘉定区2021届高三上学期一模数学试题（已下线）重难点01 数列（基本通项求法）-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）（已下线）专题05 《数列》中的解答题压轴题（2）-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册）北京市第五十五中学2022-2023年高二下学期3月调研数学试题（已下线）上海高二下学期期末真题精选（压轴60题35个考点专练）-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）
名校
解题方法
6 . 对于给定的数列，，设
，即
是
，
，…，
中的最大值，则称数列
是数列，的“和谐数列”．
（1）设
，
，求
，
，
的值，并证明数列
是等差数列；
（2）设数列，都是公比为q的正项等比数列，若数列是等差数列，求公比q的取值范围；
（3）设数列满足
，数列是数列，的“和谐数列”，且
（m为常数，
，2，…，k），求证：
．
，，设，即是，，…，中的最大值，则称数列是数列，的“和谐数列”．（1）设
，，求，，的值，并证明数列是等差数列；（2）设数列
，都是公比为q的正项等比数列，若数列是等差数列，求公比q的取值范围；（3）设数列
满足，数列是数列，的“和谐数列”，且（m为常数，，2，…，k），求证：．
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2020-05-15更新
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343次组卷
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3卷引用：上海市延安中学2023届高三上学期10月月考数学试题
名校
解题方法
7 . 设数集满足：①任意，有；②任意x，，有或，则称数集具有性质.
(1)判断数集和
是否具有性质，并说明理由；
(2)若数集
且
具有性质.
（i）当
时，求证：，，…，是等差数列；
（ii）当，，…，不是等差数列时，求的最大值.
满足：①任意，有；②任意x，，有或，则称数集具有性质.(1)判断数集
和是否具有性质，并说明理由；(2)若数集
且具有性质.（i）当
时，求证：，，…，是等差数列；（ii）当
，，…，不是等差数列时，求的最大值.
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2022-12-25更新
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1080次组卷
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5卷引用：北京市八一学校2023届高三上学期12月月考数学试题
北京市八一学校2023届高三上学期12月月考数学试题（已下线）北京市西城区2022届高三二模数学试题变式题16-21（已下线）专题3 等差数列的判断（证明）方法 微点2 通项公式法、前n项和公式法（已下线）2023年北京高考数学真题变式题16-21湖南省娄底市2024届高考仿真模拟考试一模数学试题
名校
8 . 设满足以下两个条件的有穷数列,,…,为
阶“Q数列”：
①
；②
．
(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“Q数列”；
(2)若2018阶“Q数列”是递增的等差数列，求该数列的通项公式；
(3)记n阶“Q数列”的前k项和为
，求证
．
,,…,为阶“Q数列”：①
；②．(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“Q数列”；
(2)若2018阶“Q数列”是递增的等差数列，求该数列的通项公式；
(3)记n阶“Q数列”的前k项和为
，求证．
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9 . 设数列的前项和为，且
，数列满足
，其中
.
(1)证明
为等差数列，求数列的通项公式；
(2)求数列
的前项和为
；
(3)求使不等式
，对任意正整数都成立的最大实数
的值.
的前项和为，且，数列满足，其中.(1)证明
为等差数列，求数列的通项公式；(2)求数列
的前项和为；(3)求使不等式
，对任意正整数都成立的最大实数的值.
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2023-07-21更新
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1051次组卷
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6卷引用：四川省成都市成都市石室中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题
10 . 已知数列满足
．
(1)证明：数列
是等差数列；
(2)证明：
．
满足．(1)证明：数列
是等差数列；(2)证明：
．
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2022-12-06更新
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1237次组卷
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7卷引用：河南省青桐鸣2023届高二上学期11月联考数学试题
河南省青桐鸣2023届高二上学期11月联考数学试题河南省周口市项城市正泰博文学校等3校2022-2023学年高二上学期11月月考数学试题河南省濮阳市2022-2023学年高二上学期期中数学试题安徽省六安第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（已下线）拓展三：数列与不等式 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第二册）（已下线）专题15 数列不等式的证明 微点6 数列不等式的证明综合训练安徽省阜阳市第三中学2023-2024学年高二上学期一调考试（10月月考）数学试题
