1 . 某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为
），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到
，然后分叉向
与
方向继续繁殖，其中
，且
与
关于
所在直线对称，
….若
，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（
，单位：
）至少为（ ）
），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到，然后分叉向与方向继续繁殖，其中，且与关于所在直线对称，….若，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（，单位：）至少为（ ）
| A．6 | B．7 | C．8 | D．9 |
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2024-05-08更新
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972次组卷
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2卷引用：北京市海淀区2024届高三下学期期中练习（一模）数学试题
2 . 设数列
（
）的各项均为正整数，且
.若对任意
，存在正整数
使得
，则称数列
具有性质
.
（1）判断数列
与数列
是否具有性质；（只需写出结论）
（2）若数列具有性质，且
，
，
，求
的最小值；
（3）若集合
，且
（任意
，
）.求证：存在
，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列.
（）的各项均为正整数，且.若对任意，存在正整数使得，则称数列具有性质.（1）判断数列
与数列是否具有性质；（只需写出结论）（2）若数列
具有性质，且，，，求的最小值；（3）若集合
，且（任意，）.求证：存在，使得从中可以选取若干元素（可重复选取）组成一个具有性质的数列.
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2020-05-11更新
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1171次组卷
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8卷引用：2020届北京市朝阳区高三第一次模拟考试数学试题
2020届北京市朝阳区高三第一次模拟考试数学试题北京师范大学第二附属中学2022届高三三模数学试题北京市2023届高三数学模拟试题北京卷专题18数列（解答题）北京市顺义区第一中学2023届高三高考考前适应性检测数学试题上海市2022届高三上学期一模暨春考模拟卷（四）数学试题（已下线）北京市海淀区2023届高三上学期期末练习数学试题变式题16-21（已下线）数列的综合应用
名校
3 . 某班试用电子投票系统选举班干部候选人，全班
名同学都有选举权和被选举权. 他们的编号分别为1,2,3,
, ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”. 令：
（其中
且
）则同时同意第
号同学当选的人数为（ ）
名同学都有选举权和被选举权. 他们的编号分别为1,2,3,, ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”. 令：（其中且）则同时同意第号同学当选的人数为（ ）A． |
B． |
C． |
D． |
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2019-11-19更新
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398次组卷
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3卷引用：北京一零一中学2020-2021学年高一新生入学摸底测试数学试题
北京一零一中学2020-2021学年高一新生入学摸底测试数学试题2019年上海市上海中学高三下学期数学测试2数学试题（已下线）考向16 数列求和及数列的综合应用-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）
名校
4 . 如图，设是由
个实数组成的行列的数表，其中
表示位于第
行第
列的实数，且
.
定义
为第s行与第t行的积. 若对于任意
（
），都有
，则称数表为完美数表.
（Ⅰ）当
时，试写出一个符合条件的完美数表；
（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；
（Ⅲ）设为行列的完美数表，且对于任意的
和，都有
，证明：
.
是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且. |  | |  |
 |  | |  |
 | | | |
 |  | |  |
为第s行与第t行的积. 若对于任意（），都有，则称数表为完美数表.（Ⅰ）当
时，试写出一个符合条件的完美数表；（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；
（Ⅲ）设
为行列的完美数表，且对于任意的和，都有，证明：.
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2019-04-11更新
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925次组卷
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3卷引用：【区级联考】北京市西城区2019届高三4月统一测试（一模）数学理试题
5 . 已知集合
，
,
．对于数列
，，且对于任意
，
，有
．记
为数列的前项和.
(1)写出
，
的值；
(2)数列中，对于任意，存在
，使
，求数列
的通项公式；
(3)数列中，对于任意，存在
，有
.求使得
成立的的最小值．
，,．对于数列，，且对于任意，，有．记为数列的前项和.(1)写出
，的值；(2)数列
中，对于任意，存在，使，求数列的通项公式；(3)数列
中，对于任意，存在，有.求使得成立的的最小值．
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6 . 若数列
满足：存在正整数，对于任意正整数都有
成立，则称数列为周期数列，周期为. 已知数列满足
，
现给出以下命题：
①若
，则
可以取3个不同的值
②若
，则数列是周期为
的数列
③
且
，存在
，是周期为的数列
④
且
，数列是周期数列.其中所有真命题的序号是 .
满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为. 已知数列满足，现给出以下命题： ①若
，则可以取3个不同的值 ②若
，则数列是周期为的数列③
且，存在，是周期为的数列④
且，数列是周期数列.其中所有真命题的序号是 .
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