解题方法
1 . 若实数列
满足
，有
，称数列为“
数列”.
(1)判断
是否为“数列”，并说明理由；
(2)若数列为“数列”，证明：对于任意正整数
，且
，都有
(3)已知数列为“数列”，且
.令
，其中
表示
中的较大者.证明：
，都有
.
满足，有，称数列为“数列”.(1)判断
是否为“数列”，并说明理由；(2)若数列
为“数列”，证明：对于任意正整数，且，都有(3)已知数列
为“数列”，且.令，其中表示中的较大者.证明：，都有.
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2 . 在通信技术中由
和
组成的序列有着重要作用，序列中数的个数称为这个
序列的长度
如
是一个长度为
的序列长为
的序列中任何两个不相邻的序列个数设为
，长度为的序列为：，，都满足数列
，
长度为
且满足数列的序列为：
，
，，
．
(1)求
，
(2)求数列中
，
，的递推关系
(3)记
是数列的前项和，证明：
为定值．
和组成的序列有着重要作用，序列中数的个数称为这个序列的长度如是一个长度为的序列长为的序列中任何两个不相邻的序列个数设为，长度为的序列为：，，都满足数列，长度为且满足数列的序列为：，，，．(1)求
，(2)求数列
中，，的递推关系(3)记
是数列的前项和，证明：为定值．
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3 . 第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，根据以往甲、乙两名运动员对阵的比赛数据可知，若甲发球，甲得分的概率为
，乙得分的概率为
；若乙发球，乙得分的概率为
，甲得分的概率为
．规定第1回合是甲先发球．
(1)求第3回合由甲发球的概率；
(2)①设第i回合是甲发球的概率为
，证明：
是等比数列；
②已知：若随机变量
服从两点分布，且
，
，2，…，n，则
．若第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的总得分的期望．
，乙得分的概率为；若乙发球，乙得分的概率为，甲得分的概率为．规定第1回合是甲先发球．(1)求第3回合由甲发球的概率；
(2)①设第i回合是甲发球的概率为
，证明：是等比数列；②已知：若随机变量
服从两点分布，且，，2，…，n，则．若第1回合是甲先发球，求甲、乙连续进行n个回合比赛后，甲的总得分的期望．
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4 . 在数列中，
．
(1)证明：数列
为常数列．(2)若
，求数列
的前项和
．
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2023-11-24更新
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3560次组卷
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13卷引用：河北省廊坊市部分重点高中2023-2024学年高三上学期11月期中调研数学试题
河北省廊坊市部分重点高中2023-2024学年高三上学期11月期中调研数学试题重庆市九龙坡区重庆外国语学校2024届高三上学期12月月考数学试题河北省部分学校2024届高三上学期期中调研联考数学试题（已下线）模块五 全真模拟篇 能力1 期末终极研习室（2023-2024学年第一学期）高三河南省开封市五县2023-2024学年高二上学期联考数学试题（已下线）模块三 专题7 大题分类练（数列）拔高能力练 期末终极研习室（高二人教A版）（已下线）专题09 数列的通项公式、数列求和及综合应用（9大核心考点）（讲义）（已下线）题型16 11类数列通项公式构造解题技巧贵州省六盘水市2023-2024学年高三上学期第二次联考数学试题广东省部分学校2023-2024学年高三上学期11月大联考数学试题江西省部分高中学校2023-2024学年高三上学期11月联考数学试卷广东省茂名市华南师大附属茂名滨海学校2024届高三上学期12月月考数学试题福建省莆田市第六中学2024届高三上学期1月质检模拟数学试题
2023高三·全国·专题练习
解题方法
5 . 已知数列的各项为正且满足
，
．
(1)证明∶
．
(2)令
，记数列的前n项和为
，证明
．
的各项为正且满足，．(1)证明∶
．(2)令
，记数列的前n项和为，证明．
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名校
6 . 某运动员多次对目标进行射击， 他第一次射击击中目标的概率为．由于受心理因素的影响，每次击中目标的概率会受前一次是否击中目标而改变，若前一次击中目标，下一次击中目标的概率为
；若前一次末击中目标，则下一次击中目标的概率为
．
(1)记该运动员第次击中目标的概率为
，证明：
为等比数列，并求出
的通项公式；
(2)若该运动员每击中一次得2分，未击中不得分，总共射击2次，求他总得分
的分布列与数学期望．
．由于受心理因素的影响，每次击中目标的概率会受前一次是否击中目标而改变，若前一次击中目标，下一次击中目标的概率为；若前一次末击中目标，则下一次击中目标的概率为．(1)记该运动员第
次击中目标的概率为，证明：为等比数列，并求出的通项公式；(2)若该运动员每击中一次得2分，未击中不得分，总共射击2次，求他总得分
的分布列与数学期望．
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2022-09-23更新
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1312次组卷
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4卷引用：福建省福州第一中学2023届高三上学期第一次月考数学试题
7 . 阿司匹林（分子式
，分子质量180）对血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的发病风险.对于急性心肌梗死疑似患者，建议第一次服用剂量300
，嚼碎后服用以快速吸收，以后每24小时服用200.阿司匹林口服后经胃肠道完全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解为主要代谢产物水杨酸（分子式
，分子质量138），降解过程生成的水杨酸的质量为阿司匹林质量的
，水杨酸的清除半衰期（一般用物质质量衰减一半所用的时间来描述衰减情况，这个时间被称作半衰期）约为12小时.（考虑所有阿司匹林都降解为水杨酸）
(1)求急性心肌梗死疑似患者第1次服药48小时后第3次服药前血液中水杨酸的含量（单位）；
(2)证明：急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230.
，分子质量180）对血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的发病风险.对于急性心肌梗死疑似患者，建议第一次服用剂量300，嚼碎后服用以快速吸收，以后每24小时服用200.阿司匹林口服后经胃肠道完全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解为主要代谢产物水杨酸（分子式，分子质量138），降解过程生成的水杨酸的质量为阿司匹林质量的，水杨酸的清除半衰期（一般用物质质量衰减一半所用的时间来描述衰减情况，这个时间被称作半衰期）约为12小时.（考虑所有阿司匹林都降解为水杨酸）(1)求急性心肌梗死疑似患者第1次服药48小时后第3次服药前血液中水杨酸的含量（单位
）；(2)证明：急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230
.
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2022-05-02更新
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347次组卷
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3卷引用：浙江省杭州地区(含周边重点中学)2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题
浙江省杭州地区(含周边重点中学)2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题（已下线）专题09 数列的通项公式、数列求和及综合应用（9大核心考点）（讲义）重庆市五校2022届高三上学期10月联考数学试题
8 . 设数列
，
，
，…满足条件
，
其中n是某个固定的自然数．求证：
．
，，，…满足条件，其中n是某个固定的自然数．求证：．
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9 . 已知某中学食堂每天供应3 000名学生用餐，为了改善学生伙食，学校每星期一有A，B两种菜可供大家免费选择(每人都会选而且只能选一种菜)．调查资料表明，凡是在这星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有40%改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期一选A的人数和选B的人数，如果a1＝2 000.
（1）请用an，bn表示an＋1与bn＋1；
（2）证明：数列{an－2 000}是常数列．
（1）请用an，bn表示an＋1与bn＋1；
（2）证明：数列{an－2 000}是常数列．
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10 . 为保护长江流域渔业资源，2020年国家农业农村部发布《长江十年禁渔计划》.某市为了解决禁渔期渔民的生计问题，试点推出面点､汽修两种职业技能培训，一周内渔民可以每天自由选择其中一个进行职业培训，七天后确定具体职业.政府对提供培训的机构有不同的补贴政策：面点培训每天200元/人，汽修培训每天300元/人.若渔民甲当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训.假定渔民甲七天都参与全天培训，且第一天选择的是汽修培训，第
天选择汽修培训的概率是(，2，3，…，7).
（1）求
；
（2）证明：
(，2，3，…，7)为等比数列；
（3）试估算一周内政府渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望(
近似看作0).
天选择汽修培训的概率是(，2，3，…，7).（1）求
；（2）证明：
(，2，3，…，7)为等比数列；（3）试估算一周内政府渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望(
近似看作0).
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