1 . 已知数列的前n项和为，，（），则的值为________，的值为________.

2 . 已知数列是等差数列，其前项和为，且，，则_____，________

3 . 在数列的每相邻两项之间插入此两项的平均数，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列、进行“扩展”，第一次得到数列、、；第二次得到数列、、、、；第次得到数列、、、、，则第次得到的数列项数为__________；记第次得到的数列的所有项和为，则数列的前项和___________．

4 . 已知是数列的前项和，，则________；若，则________.

5 . 我国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，除了1之外的每个数字都等于上一行的左右两个数字之和，且第n行的所有数字之和为．若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的第12项为________，前35项和为________．

6 . 已知等差数列的前n项和为公差为d，且满足则的取值范围是_____________，的取值范围是_____________．

7 . 在某个电子竞技平台中，名同学在玩一种“数字智力”游戏.这些同学编号依次为1，2，3，…，.在这个电子竞技平台的这种“数字智力”游戏中，每个同学会看到自己的一个数对，用表示.游戏规则是：编号为的同学看到自己的数对是，且满足.若在平台中告之编号为1的同学看到自己的数对是，则编号为3的同学看到自己的数对是________；某位同学看到自己的数对告之其他同学为，请你猜出这位同学看到的数对中的________.

8 . 在等差数列中，，，则公差为_____；______.

9 . 我国古代数学名著《九章算术》中有如下“竹九节”问题，现有一根节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，且上面节的容积共，下面节的容积共，则第节的容积为_______，节竹总容积为_______.

10 . 数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列．则_______；若存在正整数，使，则________．