1 . 数列的前项和为，已知对任意的，点均在函数且，均为常数）的图象上.
(1)求证：是等比数列；
(2)当时，记，证明：数列的前项和.

2 . 已知数列的前项和为.
(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立，
①，②，③
(2)在（1）的条件下，若，数列的前项和为，求证：.

3 . 已知数列中，，其前项的和为，且满足．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)证明：当时，；
(3)证明：当时，.

4 . 正整数数列满足＝pn+q（p，q为常数），其中为数列的前n项和.
（1）若p=1，q=0，求证：是等差数列：
（2）若为等差数列，求p的值；
（3）证明：的充要条件是p=.

5 . 定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为三角形”数列对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”．
（1）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若，是数列的保三角形函数”，求的取值范围；
（2）已知数列的首项为2019，是数列的前项和，且满足，证明是“三角形”数列；
（3）求证：函数，是数列1，，的“保三角形函数”的充要条件是，．

6 . 已知数列前n项的和为且,.
（1）求证：数列是等差数列；     
（2）证明：当时,.

7 . 设数列的前项和为，且.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设数列的前项和为，求证：为定值；
（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.

8 . 已知数列中，（实数a为常数），，是其前项和，且．数列是等比数列，，恰为与的等比中项．
（Ⅰ）证明：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若，当时，的前项和为，求证：对任意，都有．

9 . 已知正项数列的前项和为，且．
(1)求数列通项公式；
(2)设，求数列的前项和；
(3)若数列满足，求证：

10 . 已知数列的前n项和为，，．
(1)求证：；
(2)若，求数列的前n项和．