1 . 关于扑克牌的由来，一种说法是由唐代天文学家张遂发明，最初称作“叶子戏”，因为纸牌只有树叶那么大．后来由马可波罗把它传播到了欧洲，欧洲人根据自己的文化和传统，对纸牌游戏进行了改进，最终出现了“扑克牌”．某同学聚会上，玩一种扑克牌游戏：第一个人手中有黑桃，梅花、红桃各一张，其余每人手中有四种花色各一张，主持人从第一个人手中随机抽取一张扑克牌给第二个人，然后从第二个人的手中随机抽取一张扑克牌给第三个人，以此类推，记为从第i个人手中抽取的扑克牌为黑色（黑桃或梅花）的概率．
(1)求，；
(2)求．

2 . 已知数列的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”.
(1)若等比数列为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式；
(2)若等差数列为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式；
(3)已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.

3 . 历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有封不同的信，投入个对应的不同的信箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为例如两封信都投错有种方法，三封信都投错有种方法，通过推理可得：.高等数学给出了泰勒公式：，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．为等比数列

C．

D．信封均被投错的概率大于

4 . 分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方式而形成的美丽的图案．自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等．如图所示，为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为．若从外往里最大的正方形边长为9，则第5个正方形的边长为（       ）

A．

B．

C．4

D．

5 . 2022年12月18日，第二十二届男足世界杯决赛在梅西率领的阿根廷队与姆巴佩率领的法国队之间展开，法国队在上半场落后两球的情况下，下半场连进两球，2比2战平进入加时赛，加时赛两队各进一球（比分3∶3）再次战平，在随后的点球大战中，阿根廷队发挥出色，最终赢得了比赛的胜利，时隔36年再次成功夺得世界杯冠军，梅西如愿以偿，成功捧起大力神杯．
(1)法国队与阿根廷队实力相当，在比赛前很难预测谁胜谁负．赛前有3人对比赛最终结果进行了预测，假设每人预测正确的概率均为，求预测正确的人数X的分布列和期望；
(2)足球的传接配合非常重要，传接球训练也是平常训练的重要项目，梅西和其他4名队友在某次传接球的训练中，假设球从梅西脚下开始，等可能地随机传向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外4人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住，记第n次传球之前球在梅西脚下的概率为，求．

6 . 若为等比数列，则下列结论正确的是（       ）

A．数列一定是等比数列

B．数列（其中且）一定是等比数列

C．数列一定是等比数列

D．数列是单调递增数列的充分条件是首项且公比.

7 . （多选）已知数列中，，，，则下列说法正确的是（       ）

A．	B．是等比数列
C．	D．

8 . 河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一.某洞窟的浮雕共层，它们构成一幅优美的图案.若从下往上计算，从第二层开始，每层浮雕像的个数依次是下层个数的倍，且第三层与第二层浮雕像个数的差是，则该洞窟的浮雕像的总个数为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 相传国际象棋起源于古印度，国王要奖赏发明者，发明者说：“请在棋盘第1个格子里放上1颗麦粒，请在棋盘第2个格子里放上2颗麦粒，请在棋盘第3个格子里放上4颗麦粒……以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍．”已知棋盘共有64个格子，则最后一个格子的麦粒数是几位数？（例如：28是2位数，1234是4位数，已知）（       ）

A．17

B．18

C．19

D．20

10 . 《九章算术》中一个常用的比率算法是衰分术，所谓“衰分”就是差分、比例分配的意思，它是古代处理分配问题的一般方法.衰分术曰：各置列衰，副并为法，以所分乘未并者各自为实，实如法而一.今有牛、马、羊、小牛、小马、小羊吃了别人的庄稼苗，苗主要求六头家畜的主人赔偿粟共五斗，这六头家畜每头需赔偿的粟依次是前一头的一半，则小马和小羊的主人需要赔偿的粟之和为（       ）

A．斗

B．斗

C．斗

D．斗