1 . 设函数对任意的实数x，y，都有，且，记，设，设，且为等比数列.
（1）求的值；
（2）设，问：是否存在整数m，使得对于任意的正整数n恒成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，请说明理由.

2 . 有一对夫妻打算购房，对本城市30个楼盘的均价进行了统计，得到如下频数分布表：

均价（单位：千元）
频数	2	2	11	10	4	1

（1）若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，现任取一个楼盘的均价，假定，求均价恰在8.12千元到9.24千元之间的概率；
（2）经过一番比较，这对夫妻选定了一个自己满意的楼盘，恰巧该楼盘推出了趣味蹦台阶送忧惠活动，由两个客户配合完成该活动，在一个口袋中有大小材质均相同的红球40个，黑球20个，客户甲可随机从口袋中取出一个球，取后放回，若取出的是红球，则客户乙向上蹦两个台阶，若取出的是黑球，则客户乙向上蹦一个台阶，直到客户乙蹦上第5个台阶（每平方米优惠0.3千元）或第6个台阶（每平方米优惠3千元）时（活动开始时的位置记为第0个台阶），游戏结束.
①设客户乙站到第个台阶的概率为，证明：当时，数列是等比数列；
②若不参加蹦台阶活动，则直接每平方米优惠1.4千元，为了获得更大的优惠幅度，请问该对夫妻是否应参与蹦台阶活动.
参考数据：取，.若，则，，.

3 . 在平面直角坐标系中，过作轴的垂线，与函数的图象交于点，过点作函数的图象的切线，与轴交于，再过作轴的垂线，与函数的图象交于点，再过点作函数的图象的切线，与轴交于，……，如此进行下去，在轴上得到一个点列，记的横坐标构成的数列为．
（1）求；
（2）求数列的通项公式．

4 . 对于函数，若，则称为数列的“本源函数”
（1）设数列的“本源函数”为，且，，求实数m的值；
（2）已知数列的“本源函数”为，，，在数列中删除数列中的项后，余下的项按原来顺序组成数列，求；
（3）记表示不超过实数u的最大整数.若数列的“本源函数”为，且，，为数列的前n项的和.证明：对满足的任意实数a，b，数列中有无穷多项属于开区间.

5 . 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．
（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为．
（i）证明：为等比数列；
（ii）证明：当时，．

6 . 某种玩具启动后，该玩具上的灯会亮起红灯或绿灯(红灯和绿灯不会同时亮起)，第1次亮灯时，亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为.若第n次亮起的是红灯，则第次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为；若第n次亮起的是绿灯，则第次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为.记第n次亮灯时，亮起红灯的概率为.该玩具启动前可输入，玩具启动后，当且第n次亮起红灯时，该玩具会唱一首歌曲，否则不唱歌.
（1）若输入，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮起红灯的次数为X，求X的分布列和期望；
（2）若输入，
（i）求数列的通项公式；
（ii）该玩具启动后，在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？

7 . 已知数列为等差数列，且，．数列是各项均为正数的等比数列，，且对任意正整数都有成立．
（1）求数列、的通项公式；
（2）求证：数列中有无穷多项在数列中；
（3）是否存在二次函数和实数，使得为数列中连续4项？若存在，请写出一个满足条件的的解析式和对应的实数a的值；若不存在，说明理由．