1 . 定义：对于任意大于零的自然数n，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列．
(1)若等差数列的前n项和为，且，，判断数列是否是M数列，并说明理由；
(2)若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，证明：数列是M数列；
(3)设数列是各项均为正整数的M数列，求证：．

2 . 已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令（），并将数列称为的“生成数列”．
(1)若，求其生成数列的前项和；
(2)设数列的“生成数列”为，求证：；
(3)若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等差数列．

3 . 已知数列，其前n项和为，请在下列三个条件中补充一个在下面问题中使得最终结论成立并证明你的结论．
条件①：(t为常数)；
条件②：，其中数列满足，；
条件③：．
数列中是二项式展开式中的常数项，且       ．求证：＜1对恒成立．
注：如果选择多个条件作答，则按第一个条件的解答计分．

4 . 在数列{a_n}中，a₁＝2，a_n＋1＝·a_n(n∈N^*).
（1）证明：数列是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n＝，若数列{b_n}的前n项和是T_n，求证：T_n＜2.

5 . 数列．
（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求和，并证明：．

6 . 已知数列的首项.
（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）证明：对任意的；
（3）证明：.

7 . 已知数列的首项，且满足.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数n.

8 . 若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质，欧拉函数是指，对于一个正整数n，小于或等于n的正整数中与n互质的正整数（包括1）的个数，记作，例如，．
(1)求，，；
(2)设，，求数列的前项和；
(3)设，，数列的前项和为，证明：，