1 . 已知数列的前n项和为，．证明：
(1)数列为等比数列；
(2)当时，．

2 . 已知数列、满足，，，，且，.
(1)求证：是等比数列；
(2)若是递增数列，求实数的取值范围.

3 . 已知数列中，，，求证：数列是等比数列.

4 . 数列满足：，．记，求证：数列为等比数列；

5 . 已知，是项数相同的数列．
(1)若数列是公差为d的等差数列，数列满足，证明数列是等比数列；
(2)若数列是公比为q的正项等比数列，数列满足，证明数列是等差数列．

6 . 已知数列中，是其前项和，并且，.
(1)设，求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)数列中是否存在最大项与最小项，若存在，求出最大项与最小项，若不存在，说明理由.

7 . 已知数列前n项和，满足．
(1)证明是等比数列；
(2)数列，，求数列的前n项和．

8 . 设数列满足，其中.证明：是等比数列；

9 . 甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记，，经次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为，．
(1)试用，表示，．
(2)证明：数列是等比数列，并求出，的通项．

10 . 已知数列的前n项和为，，．
(1)证明：为等比数列，并写出它的通项公式：
(2)若正整数m满足不等式，求m的最大值．