1 . 已知为正整数，数列，记.对于数列，总有，则称数列为项数列.若数列，均为项数列，定义数列，其中.
(1)已知数列，求的值；
(2)若数列均为项数列，求证：；
(3)对于任意给定的正整数，是否存在项数列，使得，并说明理由.

3 . 数列：满足，称为数列的指数和.
(1)若，求所有可能的取值；
(2)求证:的充分必要条件是；
(3)若，求的所有可能取值之和.

4 . 已知函数，.
（1）若不等式对恒成立，求实数a的范围；
（2）若正项数列满足，，数列的前n项和为S_n，求证：.

5 . 我们称元有序实数组为n维向量，为该向量的范数，已知n维向量，其中，，记范数为奇数的n维向量的个数为，这个向量的范数之和为.
（1）求和的值；
（2）求的值；
（3）当n为奇数时，证明：.

6 . 若数列：，满足，则称为数列，并记.
（1）写出所有满足，的数列；
（2）若，，证明：数列是递减数列的充要条件是；
（3）对任意给定的正整数，且，是否存在的数列，使得？如果存在，求出正整数满足的条件；如果不存在，说明理由.

7 . 已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有，.
（1）求证：是等比数列，并求出的通项公式；
（2）若数列中去掉的项后，余下的项组成数列，求；
（3）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得、、成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

8 . 已知数列的首项，前n项和为，且
（Ⅰ）求证数列为等比数列；
（Ⅱ）设数列{ }的前n项和为，求证： ．
（Ⅲ）设函数 ，令 ，求数列的通项公式，并判断其单调性．

9 . 在数列中，，，，其中．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)设，，数列的前项和为，若当且为偶数时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)设数列的前项的和为，试求数列的最大值.

10 . 已知函数,.
(1)请判断方程在区间上的根的个数，并说明理由；
(2)判断的图像是否具有对称轴，如果有请写出一个对称轴方程，若不具有对称性，请说明理由；
(3)求证：.