1 . 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为．

(1)若为棱的中点，求证：平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由.

2 . 如图，在正三棱柱中，底面为的中点，为上一个动点.

(1)若为靠近点线段的三等分点，求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使平面与平面的夹角等于？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

3 . 如图，四边形为矩形，≌，且二面角为直二面角．

(1)求证：平面平面；
(2)设是的中点，，二面角的平面角的大小为，当时，求的取值范围．

4 . 已知在三棱锥中，，为以AC为斜边的等腰直角三角形．

(1)证明：平面平面；
(2)设，存在该几何体外的一点D，使得为等边三角形，平面BCD与平面ABC所成的锐二面角的正切值为，求AD的长．

5 . 如图，在棱长为的正方体中，点是正方体的中心，将四棱锥绕直线逆时针旋转后，得到四棱锥.

(1)若，求证：平面平面；
(2)是否存在，使得直线平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

6 . 如图，在四棱锥中，，，，.
   
(1)求证：平面平面；
(2)若，点满足，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值.

7 . 如图，是半球的直径，，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且.

   

(1)求四边形的面积；
(2)证明：平面；
(3)若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值.

8 . 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，点在侧棱上，.

(1)证明：是侧棱的中点；
(2)求二面角的正弦值.

9 . 如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，，．
   
(1)当点为线段的中点时，求证：；
(2)当点在线段上时（包含端点），求平面和平面的夹角的余弦值的取值范围．

10 . 如图，在梯形中，，，，，与交于点，将沿翻折至，使点到达点的位置.
   
(1)证明：；
(2)若平面PBC与平面PBD的夹角的余弦值为，求三棱锥的体积.