1 . 两个向量
和
的叉乘写作
，叉乘运算结果是一个向量，其模为
，方向与这两个向量所在平面垂直.若
，
，则
.如图，已知在四棱锥
中，底面
是直角梯形，
，
，
，
，
，
，
分别是
，
，
，
的中点.
平面
；
(2)已知
，
，
为
中点，以为原点，
的方向为
轴的正方向建立空间右手直角坐标系.
①求
；
②求三棱锥
的体积.
和的叉乘写作，叉乘运算结果是一个向量，其模为，方向与这两个向量所在平面垂直.若，，则.如图，已知在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，分别是，，，的中点.
平面；(2)已知
，，为中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间右手直角坐标系.①求
；②求三棱锥
的体积.
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解题方法
2 . 如图，在四棱锥中，
，
.
平面；
(2)在棱上是否存在点，使得平面
与平面
夹角的正弦值为
？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
中，，.
平面；(2)在棱
上是否存在点，使得平面与平面夹角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
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769次组卷
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3卷引用：山东省泰安市2024届高三下学期高考模拟（（三模））数学试题
名校
3 . 如图，在正三棱柱
中，
为
中点，点
在棱
上，
.
平面
；
(2)求锐二面角
的余弦值.
中，为中点，点在棱上，.
平面；(2)求锐二面角
的余弦值.
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410次组卷
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2卷引用：山东省淄博实验中学2024届高三下学期第三次模拟考试数学试题
4 . 如图，四棱台
的底面为菱形，
，点为
中点，
．
平面；
(2)若
，求平面
与平面夹角的余弦值．
的底面为菱形，，点为中点，．
平面；(2)若
，求平面与平面夹角的余弦值．
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838次组卷
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4卷引用：山东省枣庄市2024届高三三调数学试题
山东省枣庄市2024届高三三调数学试题山东省青岛市2024届高三下学期第二次适应性检测数学试题山东省济南市2024届高三下学期5月适应性考试（三模）数学试题（已下线）第三套 艺体生新高考全真模拟 （三模重组卷）
5 . 如图，在三棱台
中，平面
平面
，
，
，
．的高；
(2)若直线与平面
所成角的正弦值为
，求．
中，平面平面，，，．
的高；(2)若直线
与平面所成角的正弦值为，求．
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6 . 如图，在正三棱柱中，
，点
分别是棱，
的中点，点
满足
，其中
.
(1)当
时，求证：
∥平面
；
(2)当
时，是否存在点使得平面
与平面的夹角的余弦值是？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由.
中，，点分别是棱，的中点，点满足，其中.(1)当
时，求证：∥平面；(2)当
时，是否存在点使得平面与平面的夹角的余弦值是？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由.
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7 . 如图，在四棱锥中，平面
⊥平面，
为等边三角形，
，
，
，
，M为
的中点．
⊥平面
；
(2)求直线与平面
所成角的正弦值．
中，平面⊥平面，为等边三角形，，，，，M为的中点．
⊥平面；(2)求直线
与平面所成角的正弦值．
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8 . 在三棱锥
中，
，
平面
，点在平面内，且满足平面
平面
，
．
；
(2)当二面角
的余弦值为
时，求三棱锥
的体积．
中，，平面，点在平面内，且满足平面平面，．
；(2)当二面角
的余弦值为时，求三棱锥的体积．
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名校
9 . 如图，已知四边形为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面
平面，为的中点，
为
的中点，
，
．
平面
；
(2)求平面与平面
的夹角的余弦值．
为等腰梯形，为以为直径的半圆弧上一点，平面平面，为的中点，为的中点，，．
平面；(2)求平面
与平面的夹角的余弦值．
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1340次组卷
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5卷引用：山东省菏泽市2024届高三下学期一模考试数学试题
名校
10 . 如图，在四棱锥中，四边形ABCD 为直角梯形，AB∥CD， 
，平面
平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点.
；
(2)当EF为何值时，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为
.
中，四边形ABCD 为直角梯形，AB∥CD， ，平面平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点.
；(2)当EF为何值时，直线BE 与平面PAD夹角的正弦值为
.
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