1 . 如图所示，正方体的棱长为a．

(1)过正方体的顶点A，B，截下一个三棱锥，求正方体剩余部分的体积；
(2)若M，N分别是棱AB，BC的中点，请画出过，M，N三点的平面与正方体表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长；
(3)设正方体外接球的球心为O，求三棱锥的体积．

2 . 《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.”

如图，在鳖臑ABCD中，侧棱底面BCD；

(1)若，，，，求证：；
(2)若，，，试求异面直线AC与BD所成角的余弦.
(3)若，，点P在棱AC上运动.试求面积的最小值.

3 . 在边长为a的正方体上选择四个顶点，然后将它们两两相连，且这四个顶点组成的几何图形为每个面都是等边三角形的四面体，记为四面体．

(1)请在给出的正方体中画出该四面体，并证明；
(2)设的中心为O，关于点O的对称的四面体记为，求与的公共部分的体积．（注：到各个顶点距离相等的点称为四面体的中心）

4 . 已知一个直四棱柱的底面边长为5cm的正方形，侧棱长都是8cm，回答下列问题：

(1)这个直四棱柱一共有几个面？几个顶点？几条棱？
(2)将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？

5 . 已知直角梯形，其中，，，且、分别是、的中点，将梯形沿翻折，并连接、形成如下图的几何体．

(1)判断几何体是哪种简单几何体，并证明；
(2)若二面角的大小为，求直线与平面的夹角的正弦值．

6 . 延长圆台的母线有什么结论？

7 . 什么棱柱称为正棱柱？

8 . 如图，已知正三棱锥的高，侧面上的斜高，求经过的中点且平行于底面的截面的面积（用，表示）．

9 . 如图，切正方体形状的土豆块，思考可以得到哪些类型的多面体？

10 . 如图，已知各顶点均在球的球面上，若球半径为10，分别求球心到平面的距离．

(1)是边长为3的正三角形；
(2)是边长分别为，，的三角形．
（以上结果均保留2位小数）