1 . 如图所示，正方体的棱长为a．

(1)过正方体的顶点A，B，截下一个三棱锥，求正方体剩余部分的体积；
(2)若M，N分别是棱AB，BC的中点，请画出过，M，N三点的平面与正方体表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长；
(3)设正方体外接球的球心为O，求三棱锥的体积．

2 . 用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的几何体称为圆台，也可称为“截头圆锥”．在如图的圆台中，上底面半径为，下底面半径为，母线长为．

（I）结合圆台的定义，写出截面的作图过程；
（II）圆台截面与截面是两个全等的梯形，若，求二面角的平面角的余弦值．

3 . 在边长为a的正方体上选择四个顶点，然后将它们两两相连，且这四个顶点组成的几何图形为每个面都是等边三角形的四面体，记为四面体．

(1)请在给出的正方体中画出该四面体，并证明；
(2)设的中心为O，关于点O的对称的四面体记为，求与的公共部分的体积．（注：到各个顶点距离相等的点称为四面体的中心）

4 . 下列说法正确的有（       ）

A．用斜二测画法画出边长为2的正方形的直观图，则直观图的面积为

B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形

C．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

D．以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥

5 . 下图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某平面多边形，现将该图形绕的垂直平分线旋转180°，则所得几何体的体积为（       ）
（注：圆台的体积，其中，分别是上､下底面半径，是高）

A．35π

B．36π

C．37π

D．39π

6 . 如图，一正方体木块的上底面有一点E，在平面内，画出过点E与CE垂直的直线l，并证明：l⊥CE．

7 . 用一个平面截正方体，截面的形状会是什么样的？请你给出截面图形的分类原则，找到截得这些形状截面的方法，画出这些截面的示意图．例如，可以按照截面图形的边数进行分类：
(1)如果截面是三角形，可以截出几类不同的三角形？为什么？
(2)如果截面是四边形，可以截出几类不同的四边形？为什么？
(3)能否截出正五边形？为什么？
(4)是否存在正六边形的截面？为什么？
(5)有没有可能截出边数超过6的多边形？为什么？

8 . （1）如图1，正四棱锥，．

（ⅰ）求此四棱锥的外接球的体积；
（ⅱ）为上一点，求的最小值；
（2）将边长为4a的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积．