1 . 正多面体也称柏拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正四面体和一个正八面体的棱长都是a（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体．

（1）求新多面体的体积；
（2）求二面角的余弦值；
（3）求新多面体为几面体？并证明．

2 . 若矩形满足，则称这样的矩形为黄金矩形．现有如图1所示的黄金矩形卡片，已知，，是的中点，，，且，沿，剪开．用3张这样剪开的卡片，两两垂直地交叉拼接，得到如图2所示的几何模型．若连结这个几何模型的各个顶点，便得到一个正______面体；若，则该正多面体的表面积为_______．