名校
1 . 一般地，如果一个四面体存在由同一点出发的三条棱两两垂直，我们把这种四面体叫做直角四面体，记该点为直角四面体的直角顶点，两两垂直的三条棱叫直角四面体的直角棱，任意两条直角棱确定的面叫直角四面体的直角面，除三个直角面外的一个面叫斜面．若一个直角四面体的三条直角棱长分别为
，
，
，直角顶点到斜面的距离为
，其内切球的半径为
，三个直角面的面积分别为
，
，
，三个直角面与斜面所成的角分别为
，
，
，斜面的面积为
，则（ ）
，，，直角顶点到斜面的距离为，其内切球的半径为，三个直角面的面积分别为，，，三个直角面与斜面所成的角分别为，，，斜面的面积为，则（ ）| A．直角顶点在斜面上的射影是斜面的内心 | B． |
C． | D． |
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2024·广东茂名·模拟预测
解题方法
2 . 若正四面体
的棱长为
，M为棱
上的动点，则当三棱锥
的外接球的体积最小时，三棱锥的体积为（ ）
的棱长为，M为棱上的动点，则当三棱锥的外接球的体积最小时，三棱锥的体积为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2024·全国·模拟预测
3 . 已知正四面体的棱长为
，则（ ）
的棱长为，则（ ）A．正四面体的外接球表面积为 |
| B．正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 |
C．正四面体的相邻两个面所成二面角的正弦值为 |
D．正四面体 在正四面体的内部，且可以任意转动，则正四面体的体积最大值为 |
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2024·全国·模拟预测
解题方法
4 . 如图，已知长方体
中，
，
，
为线段
上一点，则下列结论正确的是（ ）
中，，，为线段上一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若 平面 ，则为的中点 |
B．若为的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为 |
C．三棱锥 的外接球截平面所得截面面积为 |
D．若三棱锥 的体积为，则 |
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2024·全国·模拟预测
5 . 已知圆台
存在内切球
（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为
，设圆台与球的体积分别为
，则
（ ）
存在内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切的球），若圆台的上、下底面面积之和与它的侧面积之比为，设圆台与球的体积分别为，则（ ）A． | B． | C． | D． |
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2024·湖南·二模
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解题方法
6 . 在菱形
中，
.将菱形沿对角线
折成大小为
（
）的二面角
，若折成的四面体内接于球，则下列说法正确的是（ ）
中，.将菱形沿对角线折成大小为（）的二面角，若折成的四面体内接于球，则下列说法正确的是（ ）A．四面体的体积的最大值是 |
B． 的取值范围是 |
C．四面体的表面积的最大值是 |
D．当 时，球的体积为 |
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23-24高一下·福建厦门·期中
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解题方法
7 . 如图（1），正三棱柱
，将其上底面ABC绕
的中心逆时针旋转，
，分别连接
得到如图（2）的八面体
，依次连接该八面体侧棱的中点分别为M，N，P，Q，R，S，
（ⅰ）求证：
共面；
（ⅱ）求多边形
的面积；
(2)求该八面体体积的最大值．
，将其上底面ABC绕的中心逆时针旋转，，分别连接得到如图（2）的八面体
，依次连接该八面体侧棱的中点分别为M，N，P，Q，R，S，（ⅰ）求证：
共面；（ⅱ）求多边形
的面积；(2)求该八面体体积的最大值．
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2024·广东·三模
解题方法
8 . 在半径为
的半球内放入一个正四棱柱，使得正四棱柱上底面的四个顶点位于半球面上，下底面与半球的大圆面重合，则正四棱柱体积的最大值为（ ）
的半球内放入一个正四棱柱，使得正四棱柱上底面的四个顶点位于半球面上，下底面与半球的大圆面重合，则正四棱柱体积的最大值为（ ）A． | B． | C． | D． |
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9 . 在三棱锥中，
，
，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2024·山东泰安·二模
解题方法
10 . 已知四面体的各顶点都在同一球面上，若
，平面
平面
，则该球的表面积是（ ）
的各顶点都在同一球面上，若，平面平面，则该球的表面积是（ ）A． | B． | C． | D． |
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