1 . 如图所示，有一块矩形铁皮，已知矩形铁皮的长度为，剪下一个半圆面作圆锥的侧面，余下的铁皮内剪下一个与其相切的圆面，恰好作为圆锥的底面．试求：

(1)剪下的半圆面的半径；
(2)在做成的圆锥体内放一个球，求球的最大体积．

2 . 如图，在长方体中，．

（1）若该长方体被过顶点的平面截去一个三棱锥，求剩余部分的体积；
（2）若该长方体的所有顶点都在球O的球面上，求球O的体积．

3 . 据说伟大的阿基米德逝世后，敌军将领马塞拉斯给他建了一块墓碑，在墓碑上刻了一个如图所示的图案，图案中球的直径、圆柱底面的直径和圆柱的高相等，圆锥的顶点为圆柱上底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的下底面．

（1）试计算出图案中圆柱与球的体积比：
（2）假设球半径，试计算出图案中圆锥的体积和表面积．

4 . 如图，四棱锥中，四边形为矩形，，，.

（1）求证：平面；
（2）求四棱锥外接球的体积.

5 . 已知某圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，球O内切于该圆锥.
（1）求该圆锥的高；
（2）求内切球O的体积.