1 . 已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面圆的半径与高分别为何值时，它的侧面积最大？最大侧面积是多少？

2 . 如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，将、、分别沿DE、EF、DF折起，使得A、B、C三点重合于点P，求四面体外接球的表面积.

   

3 . 设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，求三棱锥体积的最大值.

4 . 在三棱锥中，，，，，侧棱SB与底面ABC垂直，求三棱锥的外接球半径.

5 . 正四面体的所有棱长均为12，球O是其外接球，M，N分别是与的重心，求球O截直线MN所得的弦长.

6 . 正四面体内接于半径为的球，求正四面体的棱长.

7 . 如图1所示的等边的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC边的中点．现将沿CD折叠，使平面ADC⊥平面BDC，如图2所示．

(1)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)求四面体的外接球体积与四棱锥的体积之比．

8 . 如图，在矩形中，∥，∥，，，现分别沿，将矩形折叠使得与重合，求折叠后的几何体的外接球的表面积．

9 . 如图1，正四棱锥，.

(1)求此四棱锥的外接球的体积；
(2)M为PC上一点，求的最小值；
(3)将边长为4的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方形的面积相等，在图2中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积.

10 . 如图，半球内有一内接正方体（即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球上）．若正方体的棱长为，求半球的表面积和体积．