1 . 已知一个球在一个体积为的正三棱柱的内部，且与三棱柱的各面均相切，求正三棱柱的表面积与球的表面积．

3 . 如图，在中，是的中点，现将Rt以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且.

(1)求圆锥的表面积；
(2)若一个棱长为的正方体木块可以在这个圆锥内任意转动，求的最大值.

4 . 在三棱锥中，
(1)若点，，，分别是棱，，，上的点，其中，.求证：，，三线共点；
(2)在三棱锥中，所有棱长都为.
①求三棱锥的体积；
②求三棱锥外接球的表面积.

5 . 如图，在直三棱柱中，，，为的中点.

(1)证明：平面.
(2)若以为直径的球的表面积为，求二面角的余弦值.

6 . 已知球内接正四棱锥的高为，、相交于，球的表面积为，若为中点.

   

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.

7 . 已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，轴截面等腰三角形的顶角为，若的面积为．

(1)求该圆锥的侧面积；
(2)求该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值；
(3)求圆锥的内切球体积．

8 . 如图，在四面体中，面，是的中点，是的中点，点在线段上，且.

(1)若，求证：平面.
(2)若二面角为，求二面角的余弦值.
(3)若三棱锥的体积为1，求三棱锥外接球的体积.

10 . 如图，在四棱台中，平面．底面是平行四边形，，，连接、，设交点为，连接．
   
(1)证明：；
(2)若，且二面角大小为60°，求三棱锥外接球的表面积．