3 . 如图，长方体中，AB=AD=2，A=4，P为棱的中点.

(1)求直线与平面所成角的余弦值；
(2)求直线AP被长方体的外接球截得的线段长度.

5 . 为了求一个棱长为的正四面体的体积，某同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.

(1)类比此解法，一个相对棱长都相等的四面体，其三组棱长分别为，求此四面体的体积；
(2)已知对棱分别相等的四面体称为等腰四面体.小明同学在研究等腰四面体（设）时，给出如下结论：①等腰四面体的外接球半径为；②等腰四面体的四个面可以都为直角三角形.聪明的同学们，你认为小明同学研究的结论正确吗？给出理由.

6 . 如图所示，有一块矩形铁皮，已知矩形铁皮的长度为，剪下一个半圆面作圆锥的侧面，余下的铁皮内剪下一个与其相切的圆面，恰好作为圆锥的底面．试求：

(1)剪下的半圆面的半径；
(2)在做成的圆锥体内放一个球，求球的最大体积．

7 . 如图，在正三棱锥中，有一半径为1的半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，．

(1)用分别表示线段BC和PD长度；
(2)当时，求三棱锥的侧面积S的最小值．

8 . 在直三棱柱中，D，E，F分别为A₁C₁，AB₁，BB₁的中点.

（1）证明∶DE//平面B₁BCC₁；
（2）若AB=AC=AA₁=2，AF⊥DE，求直三棱柱外接球的表面积.

9 . 定州市某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是

（1）求正方体石块的棱长；
（2）为争创全国文明城市，现将表面脏污，棱角轻微磨损的多面形石凳(图（1）)打磨成一个球形的石凳，并用一种环保底漆全面粉刷.已知这种底漆一瓶的净含量为235克，可粉刷左右，求此球形石凳最大时，一瓶环保底漆大约可以粉刷几个球形石凳？(精确到1)按算

10 . 如图，在长方体中，．

（1）若该长方体被过顶点的平面截去一个三棱锥，求剩余部分的体积；
（2）若该长方体的所有顶点都在球O的球面上，求球O的体积．