1 . 正四面体内接于半径为的球，求正四面体的棱长.

2 . 如图，点B是AC为直径的半圆上的一动点面，．
   
(1)若E为PC的中点，当的面积最大时，求AE与面所成的角的正弦值；
(2)过点A作平面，分别交PB，PC于点M，N，当时，求三棱锥外接球的体积．

3 . 如图，四面体ABCD的顶点都在以AB为直径的球面上，底面BCD是边长为的等边三角形，球心O到底面的距离为1．

(1)求球O的表面积；
(2)求二面角的余弦值．

4 . 如图，在三棱推中，高（底面），．

(1)求三棱锥的体积；
(2)求三棱锥外接球的表面积．

6 . 为了求一个棱长为的正四面体体积，小明同学设计如下解法：构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体为棱长是的正四面体，且有.学以致用：

(1)如图2，一个四面体三组对棱长分别为，2，，求此四面体外接球表面积；
(2)若四面体ABCD每组对棱长分别相等，求证：该四面体的四个面都是锐角三角形.

7 . 如图，在中，，，，在该三角形内挖去一个半圆，圆心O在边BC上，半圆与AC，AB分别相切于点C，M，与BC交于另一点N，将绕直线BC旋转一周得到一个旋转体.

(1)求该旋转体中间空心球的表面积的大小；
(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.

8 . 如图1，与三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆．设O是△ABC的内切圆圆心，r是△ABC的内切圆半径，设S是△ABC的面积，l是△ABC的周长，由等面积法，可以得到．

(1)与三棱锥的四个面都相切的球叫做三棱锥的内切球．设三棱锥的体积是V，表面积是S，请用类比推理思想，写出三棱锥的内切球的半径公式R_内（只写结论即可，不必写推理过程）；
(2)若多面体的所有顶点都在同一球上，则该球为多面体的外接球，如图2，在三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA = PB = PC = 1，求三棱锥P－ABC的内切球半径和外接球的半径．

9 . 如图，在三棱锥中，平面平面，．

(1)求三棱锥外接球的表面积；
(2)设D为侧棱上一点，若二面角的大小为，证明：．

10 . 如图1所示的等边的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC边的中点．现将沿CD折叠，使平面ADC⊥平面BDC，如图2所示．

(1)试判断折叠后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
(2)求四面体的外接球体积与四棱锥的体积之比．