1 . 如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，，，.

(1)当P为B₁C的中点时，求证：A₁B₁平面APC₁；
(2)试在线段B₁C上找一点P（异于B₁，C点），使得，并证明你的结论；
(3)当时，求多面体A₁B₁C₁PA的体积.

2 . 已知矩形ABCD中，，，M，N分别为AD，BC中点，O为对角线AC，BD交点，如图1所示．现将和剪去，并将剩下的部分按如下方式折叠：沿MN将折叠，并使OA与OB重合，OC与OD重合，连接MN，得到由平面OAM，OBN，ODM，OCN围成的无盖几何体，如图2所示．

   

(1)求证：MN⊥平面；
(2)求此多面体体积V的最大值．

3 . 如图所示多面体中， 底面 是边长为 3 的正方形， 平面 是 上一点，．
   
(1)求证： 平面;
(2)求此多面体的体积．

5 . 多面体ABCDEF如图所示，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，，，．

(1)求证：平面平面DEF；
(2)求该多面体的体积．

6 . 祖暅（公元5—6世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，用平行于平面且与距离为的平面截两个几何体得到及两截面，可以证明总成立，若椭半球的短轴，长半轴，则下列结论正确的是（       ）

A．椭半球体的体积为30π

B．椭半球体的体积为15π

C．如果，以为球心的球在该椭半球内，那么当球体积最大时，该椭半球体挖去球后，体积为

D．如果，以为球心的球在该半球内，那么当球体积最大时，该椭半球体挖去球后，体积为

7 . 如图，四边形为菱形，四边形为平行四边形，，．

（1）求证：；
（2）若，且二面角为，求多面体的体积．

8 . 如图，边长为的等边所在平面与菱形所在平面互相垂直，且，，.

（1）求证：平面；
（2）求多面体的体积.

9 . 将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体，为的中点．

（1）求证：平面；
（2）求几何体的体积．

10 . 在矩形ABCD所在平面的同一侧取两点、，使且，若，，.

（1）求证：；
（2）求多面体体积的大小.