1 . 如图，在四棱台中，平面，底面为平行四边形，，且分别为线段的中点.

(1)证明：.
(2)证明：平面平面.
(3)若，当与平面所成的角最大时，求四棱台的体积.

2 . 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正方体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，，点的曲率为分别为的中点，则（       ）

A．直线平面

B．在三棱柱中，点的曲率为

C．在四面体中，点的曲率小于

D．二面角的大小为

3 . 在三棱锥中，平面，．

(1)证明：；
(2)若为上一点，点分别为的中点．平面与平面的交线为．
①证明：直线平面；
②判断与的位置关系，并证明你的结论．

4 . 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条楼．刍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍如图所示，四边形为正方形，四边形，为两个全等的等腰梯形，，，， ．

(1)求二面角的大小；
(2)求三棱锥的体积；
(3)点在线段上且满足．试问：在线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

5 . 在棱长为2的正方体中，分别是，，的中点，则下列正确的是（    ）

A．M，N，B，四点共面

B．平面

C．平面

D．平面截正方体所得的截面面积为

6 . 已知函数部分图象如图1所示，，分别为图象的最高点和最低点，过，作轴的垂线，分别交轴于，，点为该部分图象与轴的交点，与轴的交点为，此时.将绘有该图象的纸片沿轴折成的二面角，如图2所示，折叠后，则（       ）

A．

B．在上单调递增

C．在图2中，上存在唯一一点，使得平面

D．在图2中，若是上两个不同的点，且满足，，则的最小值为

7 . 正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知一个正八面体的棱长都是2（如图），则（       ）

A．平面

B．直线与平面所成的角为60°

C．若点为棱上的动点，则的最小值为

D．若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值

8 . 在五面体中，，.

   

(1)求证：；
(2)若，，，点到平面的距离为，求二面角的余弦值.

9 . 如图所示，在棱长为1的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，是侧面内一点，若平面AEF.则线段长度的最大值与最小值之和为（   ）

A．

B．

C．

D．

10 . 如图，在正三棱柱中，，点分别是棱，的中点，点满足，其中.

(1)当时，求证：∥平面；
(2)当时，是否存在点使得平面与平面的夹角的余弦值是？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由.