1 . 如图，已知三棱柱的体积为，点在平面内的射影落在棱上，且.

(1)求证：平面；
(2)若四边形的面积为与的距离为，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

2 . 如图甲是由正方形ABCD，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿AB，BC，AC折起得三棱锥P-ABC，如图乙．

(1)求证：平面平面；
(2)过棱AC作平面ACM交棱PB于点M，且三棱锥和的体积比为1∶2，求直线AM与平面PBC所成角的正弦值．

3 . 如图（1）在三角形PCD中，AB为其中位线，且，若沿AB将三角形PAB折起，使，构成四棱锥，如图（2）E和F分别是棱和的中点．

(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成的二面角的余弦值．

4 . 如图，在四棱锥中，为的中点，平面.

(1)求证：；
(2)若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定.
（i）求证：平面；
（ⅱ）设平面平面，求二面角的余弦值.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

5 . 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点.

   

(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.

6 . 在边长为a的正方形中，E，F分别为，的中点，M、N分别为、的中点，现沿、、折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥，如图所示．

   

(1)在三棱锥中，求证：；
(2)求四棱锥的体积．

7 . 如图，是边长为2的等边三角形，且.

   

(1)若点到平面的距离为1，求；
(2)若且，求直线与平面所成角的正弦值.

8 . 在三棱台中，平面，，且，，为的中点，是上一点，且（）.

   

(1)求证：平面；
(2)已知，且直线与平面的所成角的正弦值为时，求平面与平面所成夹角的余弦值.

9 . 如图，在三棱柱中，，，，．

(1)证明：平面平面；
(2)若，求二面角的正弦值．

10 . 将正方形沿对角线折起，当时，三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的体积为________．