名校
解题方法
1 . 一副标准规格的三角板按图（1）方式摆放构成平面四边形
，
，
为
的中点.将
沿
折起至
，连接
，使得
，如图（2）.
(1)证明:平面
平面
.
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
，，为的中点.将沿折起至，连接，使得，如图（2）. (1)证明:平面
平面.(2)求直线
与平面所成角的正弦值.
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名校
2 . 如图，在长方体
中，点
是长方形
内一点，
是二面角
的平面角.
(1)证明：点在
上；
(2)若
，求直线
与平面所成角的正弦的最大值.
中，点是长方形内一点，是二面角的平面角.(1)证明：点
在上；(2)若
，求直线与平面所成角的正弦的最大值.
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2023-04-10更新
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944次组卷
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6卷引用：湖南省湘西州吉首市2023年第二届中小学生教师解题大赛数学试题
湖南省湘西州吉首市2023年第二届中小学生教师解题大赛数学试题湖南省长沙市第一中学2023届高三下学期月考(八)数学试题吉林省白山市抚松县第一中学2023届高三第十次模拟预测数学试题（已下线）第08讲 拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法(含探索性问题）（6类热点题型讲练）（已下线）第5讲：立体几何中的动态问题【练】（已下线）重难点01 利用基本不等式求最值【八大题型】
名校
3 . 如图，在四棱锥
中，
平面ABCD，四边形ABCD是菱形，
，
，E是PB上任意一点．
(1)求证：
；
(2)已知二面角
的余弦值为
，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．
中，平面ABCD，四边形ABCD是菱形，，，E是PB上任意一点．(1)求证：
；(2)已知二面角
的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．
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2022-09-29更新
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1060次组卷
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12卷引用：广西陆川县中学2016-2017学年高二下学期知识竞赛数学（理）试题
广西陆川县中学2016-2017学年高二下学期知识竞赛数学（理）试题2015届湖南省长望浏宁四县高三3月调研（一模）考试理科数学试卷四川省成都市第七中学2016-2017学年高三下学期零诊模拟数学（理）试题四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期第一次月考数学（理）试题浙江省嘉兴市平湖市2020届高三下学期5月模拟考试数学试题重庆市九龙坡区2021-2022学年高二上学期期末数学试题广西2023届高三上学期开学摸底考试数学（理）试题黑龙江省牡丹江市第二高级中学2022-2023学年高三上学期第三次阶段性测试数学试题（已下线）考向28利用空间向量求空间角（重点）广东省揭阳市普宁市华侨中学2023届高三上学期11月期中数学试题江西省南昌市新建区第二中学2024届高三上学期8月开学学业水平检测数学试题广东省河源市龙川县实验中学2024届高三上学期第二次月考数学试题
名校
解题方法
4 . 如图，圆台上底面圆
半径为1，下底面圆
半径为
为圆台下底面的一条直径，圆上点
满足
是圆台上底面的一条半径，点
在平面
的同侧，且
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)若圆台的高为2，求直线
与平面
所成角的正弦值.
半径为1，下底面圆半径为为圆台下底面的一条直径，圆上点满足是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且.(1)证明：平面
平面；(2)若圆台的高为2，求直线
与平面所成角的正弦值.
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2022-04-29更新
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2875次组卷
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9卷引用：湖南省湘西州吉首市2022年第一届中小学生教师解题大赛数学试题
名校
解题方法
5 . 如图所示，在三棱锥
中，侧棱
平面BCD，F为线段BD中点，
，
，
.
（1）证明：
平面ABD；
（2）设Q是线段AD上一点，二面角
的正弦值为
，求
的值.
中，侧棱平面BCD，F为线段BD中点，，，.（1）证明：
平面ABD；（2）设Q是线段AD上一点，二面角
的正弦值为，求的值.
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2020-11-30更新
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1741次组卷
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8卷引用：山东省泰安市新泰市第一中学东校2023-2024学年高二上学期冬季学科竞赛数学试题
山东省泰安市新泰市第一中学东校2023-2024学年高二上学期冬季学科竞赛数学试题江苏省宿迁中学2020-2021学年高三上学期期中巩固测试数学试题广西桂林市2021届高三第一次联合调研考试理科数学试题河北省衡水市第一中学2022届高三上学期第一次调研数学试题（已下线）7.6 空间向量求空间距离（精讲）-【一隅三反】2022年高考数学一轮复习（新高考地区专用）（已下线）押全国卷（理科）第19题 空间向量与立体几何-备战2022年高考数学（理）临考题号押题（全国卷）福建省莆田市仙游第一中学等五校联考2022-2023学年高二上学期期末数学试题（已下线）模块五 专题5 期末全真模拟（拔高卷1）期末终极研习室（高二人教A版）
名校
解题方法
6 . 如图
，直角梯形
，
，将
沿
折起来，使平面
平面.如图
，设
为
的中点，
，的中点为
.
（）求证：
平面.
（）求平面
与平面所成锐二面角的余弦值.
（
）在线段上是否存在点，使得
平面
，若存在确定点的位置，若不存在，说明理由.
，直角梯形，，将沿折起来，使平面平面.如图，设为的中点，，的中点为.（
）求证：平面.（
）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.（
）在线段上是否存在点，使得平面，若存在确定点的位置，若不存在，说明理由.
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解题方法
7 . 设三棱锥
满足
，
，则该三棱锥的体积的最大值为____________ .
满足，，则该三棱锥的体积的最大值为
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名校
8 . 等边
的边长为，点
，分别是
，上的点，且满足
(如图(1))，将
沿
折起到
的位置，使二面角
成直二面角，连接
，
(如图(2)).
(1)求证：
平面
；
(2)在线段上是否存在点，使直线
与平面
所成的角为
?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
的边长为，点，分别是，上的点，且满足 (如图(1))，将沿折起到的位置，使二面角成直二面角，连接，(如图(2)).(1)求证：
平面；(2)在线段
上是否存在点，使直线与平面所成的角为?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
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2019-12-07更新
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730次组卷
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11卷引用：第十一届高二试题（B卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）
第十一届高二试题（B卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）（已下线）2014届云南省红河州高三毕业生复习统一检测理科数学试卷2015-2016学年江西省吉安市一中高二上二段考理科数学卷湖北省重点高中联考协作体2018届高三春季期中考试数学（理）试题【全国校级联考】江西省南康中学2017-2018学年高二下学期第三次月考数学（理）试题【省级联考】广东省2019届高三上学期期末联考数学理试题甘肃省张掖市2018-2019学年高二下学期期末数学（理）试题2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学样卷（十二）（已下线）专题19 立体几何综合-2020年高考数学母题题源全揭秘（浙江专版）（已下线）专题8.7 立体几何中的向量方法（讲）【理】-《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）FHsx1225yl100
名校
解题方法
9 . 如图，正三棱柱
的所有棱长都为2，为棱
上的动点，设
.
（1）若
，求证：
平面：
（2）若二面角
为
，求
的值.
的所有棱长都为2，为棱上的动点，设.（1）若
，求证：平面：（2）若二面角
为 ，求的值.
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2019-05-21更新
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625次组卷
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5卷引用：2011年辽宁省瓦房店市五校高二上学期竞赛数学文卷
名校
10 . 如图所示，正三棱柱的所有棱长都为，为中点．
（1）求证：
⊥平面；
（2）求锐二面角
的余弦值．
的所有棱长都为，为中点．（1）求证：
⊥平面；（2）求锐二面角
的余弦值．
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2019-05-09更新
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523次组卷
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14卷引用：河南省河大附中09-10高二年级校内竞赛数学试题
河南省河大附中09-10高二年级校内竞赛数学试题（已下线）2011届云南省蒙自高中高三1月月考数学理卷（已下线）2012届辽宁省铁岭高级中学高三上学期第三次月考理科数学试卷（已下线）2012届江苏省扬州市宝应县高三下学期期初测试数学试卷（已下线）2013-2014学年湖南张家界市高二上学期期末联考理科数学试卷【全国市级联考】福建省福州市八县（市）协作校2017-2018学年高二上学期期末联考数学（理）试题【全国校级联考】安徽省皖中地区2019届高三入学摸底考试数学(理科)试题2018-2019人教A版高中数学选修2-1第三章 空间向量与立体几何 模块综合评价【市级联考】浙江省嘉兴市2018-2019学年高二第一学期期末检测数学试题【全国百强校】安徽省铜陵市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题新疆乌苏市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学（理）试题（已下线）广东省广州市第二中学2023届高三综合测试(一)数学试题北京市日坛中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）艺体生一轮复习 第七章 立体几何 第36讲 空间向量在立体几何中的应用【讲】
