1 . 如图，在正三棱锥中，是高上一点，，直线与底面所成角的正切值为.

（1）求证：平面；
（2）求三棱锥外接球的体积.

2 . 《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，，M，N分别是，BC的中点，点P在线段上.

（1）若P为的中点，求证：平面.
（2）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由.

3 . 如图，在直角梯形中，，.已知.将沿直线翻折成，连接.当三棱锥的体积取得最大值时，异面直线与所成角的余弦值为___________；若此时三棱锥外接球的体积为，则a的值为___________.

4 . 如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，且，，，M为的中点，平面平面，直线与平面所成角的正切值为.

（1）求四棱锥的体积；
（2）在棱上(不含端点)是否存在一点Q，使得二面角的余弦值为？若存在，请确定点Q的位置；若不存在，请说明理由.

5 . 在直四棱柱中，四边形为正方形，，为面对角线上的一个动点，则下列说法中正确的有（       ）

A．平面

B．与所成角的余弦值为

C．三棱锥的体积为定值

D．平面内存在与和底面交线平行

6 . 如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，平面，是的中点，是的中点，.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.

7 . 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是直角梯形，，，，，.

（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.

8 . 如图，是以菱形的边为直径的半圆弧上一点，，，且为的中点.

（1）求证：平面平面；
（2）设为上任意一点，求二面角的余弦值取值范围.

9 . 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.直线与平面所成的角为.

（1）求证：；
（2）求二面角的正弦值.

10 . 如图，在三棱台中，面DEF，，．

（1）若，证明：面面CDE；
（2）求二面角的余弦值．