1 . 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架、的边长都是，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子、分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记.

(1)证明：平面；
(2)当为何值时，的长最小并求出最小值；
(3)当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值.

2 . 如图，在三棱锥中，，，，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求直线和平面所成的角的大小；
(3)求点到重心的距离.

3 . 如图，在直棱柱中，，，，是的中点，点在上.

(1)求证：；
(2)求与所成角的余弦值；
(3)若，求点，之间的距离.

4 . 在棱长为2的正方体中，E，F分别为的中点．应用空间向量方法求解下列问题．

(1)求的长；
(2)证明：平面．

5 . 已知空间直角坐标系中有三点．
(1)求三角形ABC的中线CM的长；
(2)证明三角形ABC是等腰直角三角形．

6 . 如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为2，点M、N分别是AA₁、A₁C₁的中点，点P在棱A₁B₁上，且A₁P=3PB₁，Q为BP的中点，

(1)求证：；
(2)求MN与BP所成角的余弦值；
(3)求NQ的长.

7 . 如图，在四棱锥中，面，，且.

(1)求证：；
(2)求锐二面角的余弦值；
(3)若的中点为M，判断直线与平面是否相交，如果相交，求出P到交点H的距离，如果不相交，说明理由.

8 . 如图，平行六面体的所有棱长均为，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内．

(1)若为中点，求证：；
(2)若平面，求线段长度的最小值．

9 . 光学器件在制作的过程中往往需要进行切割，现生产一种光学器件，有一道工序为将原材料切割为两个部分，然后在截面上涂抺一种光触媒化学试剂，加入纳米纤维导管后粘合.在如图所示的原材料器件直三棱柱中，，现经过作与底面所成角为的截面，且截面与，分别交于不同的两点， .

(1)求证：平面；
(2)当和分别为和的中点时，需要在线段上寻找一个点，用纳米纤维导管连接，使得与所在直线的夹角最小，试求出纤维导管的长.

10 . 在边长是2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为AB，A₁C的中点．应用空间向量方法求解下列问题．

（1）求EF的长
（2）证明：EF∥平面AA₁D₁D；
（3）证明：EF⊥平面A₁CD．