1 . 若异面直线的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于 _____．

2 . 已知直三棱柱的底面为正三角形，是侧棱上一点，且，则三棱锥外接球的体积为_______________．

3 . 已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，，则__________，__________.

4 . 二面角为，,是棱上的两点，，分别在半平面，内，，，且，，则的长为 _____．

5 . 正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构）是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体的棱长都是2（如图），、分别为、的中点，则______.若，过点的直线分别交直线于两点，设（其中均为正数），则的最小值为______.

6 . 若、、是棱长为的正四面体棱上互不相同的三点，则的取值范围是_______.

7 . 空间两两垂直的单位向量，，，其中为坐标原点，空间一点满足，则的最大值_____________.

8 . 已知单位空间向量，，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则的最小值是___________.

9 . 已知空间单位向量，，，，，则的最大值是___________.

10 . 已知正四面体的棱长为4，点为该四面体表面上的动点，若是该四面体的内切球的一条动直径，则的取值范围是________.