解题方法
1 . 如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，
底面，
，且
.
；
(2)当
为钝角时，求实数
的取值范围；
(3)若二面角
的大小为
，求点
到平面
的距离.
中，底面为正方形，底面，，且.
；(2)当
为钝角时，求实数的取值范围；(3)若二面角
的大小为，求点到平面的距离.
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名校
解题方法
2 . 对于空间向量
，定义
，其中
表示x，y，z这三个数的最大值．
(1)已知
，
．
①直接写出
和
（用含
的式子表示）；
②当
，写出
的最小值及此时的值；
(2)设
，
，求证：
；
(3)在空间直角坐标系
中，
，
，
，点Q是
内部的动点，直接写出
的最小值（无需解答过程）．
，定义，其中表示x，y，z这三个数的最大值．(1)已知
，．①直接写出
和（用含的式子表示）；②当
，写出的最小值及此时的值；(2)设
，，求证：；(3)在空间直角坐标系
中，，，，点Q是内部的动点，直接写出的最小值（无需解答过程）．
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23-24高二上·上海·课后作业
解题方法
3 . 如图，在直三棱柱
中，
，
，棱
，点
、
分别是
、
的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：
(1)求
的模；
(2)求
；
(3)求证：
.
中，，，棱，点、分别是、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题： (1)求
的模；(2)求
；(3)求证：
.
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名校
4 . 如图，在直三棱柱中，线段
，
，
的中点分别为
，
，
.已知
，
，
.
(1)证明：
；(2)求
.
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2023-11-19更新
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355次组卷
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3卷引用：3.3 空间向量的坐标表示(九大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）
（已下线）3.3 空间向量的坐标表示(九大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）江西省部分学校2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题河南省太康县第一高级中学等校2023-2024学年高二上学期期中学业质量监测考试数学试题
名校
解题方法
5 . 异面直线
、
上分别有两点A、B.则将线段AB的最小值称为直线与直线之间的距离.如图，已知三棱锥
中，
平面PBC，
，点D为线段AC中点，
.点E、F分别位于线段AB、PC上（不含端点），连接线段EF.
(1)设点M为线段EF中点，线段EF所在直线与线段AC所在直线之间距离为d，证明：
.(2)若
，用含k的式子表示线段EF所在直线与线段BD所在直线之间的距离.
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2023-01-03更新
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2410次组卷
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7卷引用：3.4.2 求距离(六大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）
（已下线）3.4.2 求距离(六大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）河北衡水中学2023届高三模拟数学试题（已下线）模块十一 立体几何-2（已下线）专题1 利用空间向量求距离（2）河北省邯郸市魏县第五中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（已下线）专题02 空间向量研究距离、夹角问题（考点清单）-2023-2024学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第二章 立体几何中的计算 专题二 空间距离 微点10 空间两条直线的距离（六）【培优版】
6 . 长方体
中，
，
，
分别为棱
上的动点，且
，
时，求证：直线
平面
；
(2)如图2，当
，且
的面积取得是大值时，求点B到平面
的距离；
(3)当
时，求从点经此长方体表面到达
点最短距离.
中，，，分别为棱上的动点，且 ，
图1 图2
(1)如图1，当时，求证：直线平面；(2)如图2，当
，且的面积取得是大值时，求点B到平面的距离；(3)当
时，求从点经此长方体表面到达点最短距离.
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2022-01-05更新
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1025次组卷
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6卷引用：上海市奉贤区奉城高级中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题
上海市奉贤区奉城高级中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）期中考试模拟卷01-【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）思想01 函数与方程思想（讲）--第三篇 思想方法篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测（浙江专用）》（已下线）第02讲 空间向量的坐标表示-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第二册）（已下线）专题1 空间几何体的长度运算（提升版）（已下线）【一题多变】空间最值 向量求解
10-11高二下·江苏南京·期中
7 . 如图，直三棱柱，底面中，
，
，
，M、N分别是、的中点．
(1)求的
长；
(2)求
的值；
(3)求证：
．
，底面中，，，，M、N分别是、的中点．(1)求的
长；(2)求
的值；(3)求证：
．
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2021-12-25更新
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1260次组卷
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22卷引用：2000年普通高等学校招生考试数学（理）试题（新课程卷）
2000年普通高等学校招生考试数学（理）试题（新课程卷）（已下线）2010-2011年江苏省南京六中高二下学期期中考试理数（已下线）2010-2011年福建省长泰一中高二下学期期中考试理科数学（已下线）2011—2012学年江苏省赣榆县厉庄高级中学度高二下期中理科数学试卷（已下线）2012年人教A版高中数学选修2-1 3.1空间向量及其运算练习卷（已下线）2012-2013学年广东汕头达濠中学高二上期末理科数学试卷2016-2017学年江西崇仁县二中高二上期中数学（理）试卷（已下线）1.3 空间向量及其运算的坐标表示（精练）-2021-2022学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第一册）重庆市开州中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题（已下线）专练05 空间向量及其运算的坐标表示-2021-2022学年高二数学上册同步课后专练（人版A版选择性必修第一册）辽宁省大连市第二十三中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）考点51 空间向量的概念-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）【学科网名师堂】山东省潍坊市潍坊第四中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）复习参考题 1人教A版(2019) 选修第一册 实战演练 第一章 课时练习 05 空间向量运算的坐标表示（已下线）突破1.3 空间向量及其坐标表示（课时训练）2023版 湘教版(2019) 选修第二册 过关斩将 第2章 2.3.2 空间向量运算的坐标表示2000年普通高等学校招生考试数学（文）试题（新课程卷）广西省梧州市黄埔双语实验学校2022-2023学年高二上学期期中数学试题（理）人教B版(2019) 选修第一册 北京名校同步练习册 第一章 空间向量与立体几何 1.1空间向量及其运算 1.1.3空间向量的直角坐标运算（二）（已下线）1.3 空间向量及其运算的坐标表示（精讲）-2023-2024学年高二数学《一隅三反》系列（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）1.3 空间向量及其运算的坐标表示【第三课】
名校
8 . 某双曲线型自然冷却通风塔的外形是由图1中的双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面
，如图2所示.双曲线的左、右顶点分别为
、
.已知该冷却通风塔的最窄处是圆O，其半径为1；上口为圆
，其半径为
；下口为圆
，其半径为
；高（即圆与所在平面间的距离）为
.
(1)求此双曲线的方程；
(2)以原平面直角坐标系的基础上，保持原点和x轴、y轴不变，建立空间直角坐标系，如图3所示.在上口圆上任取一点
，在下口圆上任取一点
.请给出
、
的值，并求出
与
的值；
(3)在（2）的条件下，是否存在点P、Q，使得P、A、Q三点共线.若不存在，请说明理由；若存在，求出点P、Q的坐标，并证明此时线段PQ上任意一点都在曲面上.
，如图2所示.双曲线的左、右顶点分别为、.已知该冷却通风塔的最窄处是圆O，其半径为1；上口为圆，其半径为；下口为圆，其半径为；高（即圆与所在平面间的距离）为.(1)求此双曲线的方程；
(2)以原平面直角坐标系的基础上，保持原点和x轴、y轴不变，建立空间直角坐标系，如图3所示.在上口圆
上任取一点，在下口圆上任取一点.请给出、的值，并求出与的值；(3)在（2）的条件下，是否存在点P、Q，使得P、A、Q三点共线.若不存在，请说明理由；若存在，求出点P、Q的坐标，并证明此时线段PQ上任意一点都在曲面
上.
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20-21高二·全国·课后作业
9 . 如图，长为1的正方体
中，，分别为
，
的中点，
在棱
上，且
，
为
的中点.
（1）求证：
；
（2）求
的长.
（3）求
与所成角的余弦值；
中，，分别为，的中点，在棱上，且，为的中点.（1）求证：
；（2）求
的长.（3）求
与所成角的余弦值；
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名校
10 . 如图所示，球O的球心O在空间直角坐标系的原点，半径为1，且球O分别与x､y､z轴的正半轴交于A､B､C三点，已知球面上一点
.
（1）求证：
；
（2）求D､C两点在球O上的球面距离.
的原点，半径为1，且球O分别与x､y､z轴的正半轴交于A､B､C三点，已知球面上一点.（1）求证：
；（2）求D､C两点在球O上的球面距离.
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