1 . 如图，在直三棱柱中，，棱，点分别是的中点.
   
(1)求
的模；
(2)求
；
(3)求证：
.

2 . 如图，在正四棱柱中，，，、分别为和的中点.

(1)证明：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.

3 . 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点P，Q分别在棱、上.
   
(1)若P是的中点，证明：；
(2)若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.

4 . 如图所示的几何体中，平面，是的中点．

(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值．

5 . 如图，在四棱锥中，四边形是正方形，是的中点，.

(1)求证：平面；
(2)若是线段上的动点（不含线段端点），当平面与平面的夹角为时，求线段的长度.

6 . 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝1，，E为PB中点．

(1)求证：PD//平面ACE；
(2)求二面角的余弦值；
(3)在棱PD上是否存在点M，使得AM⊥BD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

7 . 如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，平面平面PBC，，．

(1)求证：；
(2)若PD与平面PBC所成的角为，求二面角的余弦值．

8 . 如图所示，四棱锥的底面是边长为2的正方形，E、F、G分别为棱AB、BC、PD的中点．设三点A、E、G所确定的平面为，，．

(1)求证：点M是棱PC的中点；
(2)若底面ABCD，且二面角的大小为45°．
①求直线EF与平面所成角的大小；
②求线段PN的长度．

9 . 如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点．

(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．

10 . 在四棱锥中，四边形是边长为4的菱形，，.

（1）证明：平面；
（2）如图，取的中点为，在线段上取一点使得，求二面角的大小.