1 . 若,则称为维空间向量集,为零向量,对于,任意,定义:
①数乘运算:;
②加法运算:;
③数量积运算:;
④向量的模:,
对于中一组向量,若存在一组不同时为零的实数使得,则称这组向量线性相关,否则称为线性无关,
(1)对于,判断下列各组向量是否线性相关:
①;
②;
(2)已知线性无关,试判断是否线性相关,并说明理由;
(3)证明:对于中的任意两个元素,均有,
①数乘运算:;
②加法运算:;
③数量积运算:;
④向量的模:,
对于中一组向量,若存在一组不同时为零的实数使得,则称这组向量线性相关,否则称为线性无关,
(1)对于,判断下列各组向量是否线性相关:
①;
②;
(2)已知线性无关,试判断是否线性相关,并说明理由;
(3)证明:对于中的任意两个元素,均有,
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名校
2 . 向量外积(又称叉积)广泛应用于物理与数学领域.定义两个向量与的叉积,规定的模长为,与、所在平面垂直,其方向满足如图1所示规则,且须满足如图所示的排列顺序.已知向量外积满足分配律,且.(1)直接写出结果:① ;② ;
(2)空间直角坐标系中有向量,
①若,用含的坐标表示;
②证明:;
(3)如图2所示,平面直角坐标系中有三角形OAB,,试探究的表达式.
(2)空间直角坐标系中有向量,
①若,用含的坐标表示;
②证明:;
(3)如图2所示,平面直角坐标系中有三角形OAB,,试探究的表达式.
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名校
3 . 已知向量,.
(1)求;
(2)求;
(3)求.
(1)求;
(2)求;
(3)求.
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名校
4 . 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法,其运算法则如下:.若,则称为空间向量与的叉乘,其中,,为单位正交基底.以为坐标原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系,已知是空间直角坐标系中异于的不同两点.
(1)①若,求;
②证明:.
(2)记的面积为,证明:;
(3)问:的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的多少倍?
(1)①若,求;
②证明:.
(2)记的面积为,证明:;
(3)问:的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的多少倍?
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2024-03-26更新
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455次组卷
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3卷引用:重庆市荣昌中学校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
名校
5 . 已知空间向量.
(1)计算和;
(2)求与夹角的余弦值.
(1)计算和;
(2)求与夹角的余弦值.
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2024-02-24更新
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236次组卷
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2卷引用:浙江省杭州外国语学校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
23-24高二上·河南周口·期末
名校
6 . 如图,在四面体中,底面ABC是边长为1的正三角形,,点P在底面ABC上的射影为H, ,二面角的正切值为.
(1)求证:;
(2)求异面直线PC与AB所成角的余弦值.
(1)求证:;
(2)求异面直线PC与AB所成角的余弦值.
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23-24高二上·辽宁·阶段练习
7 . 已知向量与向量共线,且,,
(1)求向量的坐标;
(2)求实数的值.
(1)求向量的坐标;
(2)求实数的值.
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名校
8 . 已知空间中三点,,,设,.
(1)若向量与互相垂直,求k的值;
(2)若,且,求向量.
(1)若向量与互相垂直,求k的值;
(2)若,且,求向量.
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2023-09-27更新
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96次组卷
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2卷引用:陕西省延安市延川县中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题
9 . 已知向量,求:
(1);
(2);
(3);
(4).
(1);
(2);
(3);
(4).
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2023-09-17更新
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253次组卷
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2卷引用:人教B版(2019)选择性必修第一册课本习题第一章本章小结
10 . 已知点,若,求.
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