1 . 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．
   
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．

2 . 如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别为，BD的中点，点G在CD上，且.
(1)求证：；
(2)求EF与CG所成角的余弦值.

   

3 . 已知在三棱柱中，底面是正三角形，底面ABC，，，点E，F分别为侧棱和边的中点.

(1)求证：平面ACE；
(2)求二面角的余弦值.

4 . 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.

(1)求证：平面.
(2)求二面角的平面角的余弦值.
(3)若点在棱上（不与点，重合），直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由.

5 . 在如图所示的五面体中，面是边长为2的正方形，平面，，且，为的中点，为中点，

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值的绝对值；
(3)求点到平面的距离.

6 . 如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，的中点．

(1)求证：；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．

7 . 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，二面角的大小是45°，､分别是､的中点，交于点.

(1)求证：､､､四点共面；
(2)设是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.

8 . 在2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接．如图，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆，，，，与圆柱底面相切于A，，，四点，且圆与，与，与，与分别外切，线段为圆柱的母线．点线段中点，点在线段上，且．已知圆柱，底面半径为2，.

(1)求证：平面；
(2)线段上是否存在一点，使得平面?若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由；
(3)如图，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图．天和核心舱为底面半径为2的圆柱，它与飞船推进舱共轴，即，，，共线．核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角形为以为斜边的等腰直角三角形，四边形为矩形．已知推进舱与核心舱的距离为4，即，且，．在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转的运动，请你求出在舱体相对距持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线与平面所成角的正弦值的最大值．

9 . 平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点.

(1)求证：.
(2)求与平面所成角的正弦值.
(3)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

10 . 如图，在长方体中，，，点为中点．

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．