1 . 两个向量
和
的叉乘写作
，叉乘运算结果是一个向量，其模为
，方向与这两个向量所在平面垂直.若
，
，则
.如图，已知在四棱锥
中，底面
是直角梯形，
，
，
，
，
，
，
分别是
，
，
，
的中点.
平面
；
(2)已知
，
，
为
中点，以为原点，
的方向为
轴的正方向建立空间右手直角坐标系.
①求
；
②求三棱锥
的体积.
和的叉乘写作，叉乘运算结果是一个向量，其模为，方向与这两个向量所在平面垂直.若，，则.如图，已知在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，分别是，，，的中点.
平面；(2)已知
，，为中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间右手直角坐标系.①求
；②求三棱锥
的体积.
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2 . 如图1，在平行四边形中，
，
，E为
的中点，将
沿
折起，连结
，，且
，如图2． 
平面
；
(2)在图2中，若点在棱上，直线
与平面所成的角的正弦值为
，求点到平面
的距离．
中，，，E为的中点，将沿折起，连结，，且，如图2． 
平面；(2)在图2中，若点
在棱上，直线与平面所成的角的正弦值为，求点到平面的距离．
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2024-05-07更新
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1354次组卷
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2卷引用：2024届山东省潍坊市二模数学试题
名校
解题方法
3 . 如图，直四棱柱
的底面为平行四边形，
分别为
的中点.
平面
；
(2)若底面为矩形，
，异面直线与
所成角的余弦值为
，求
到平面的距离.
的底面为平行四边形，分别为的中点.
平面；(2)若底面
为矩形，，异面直线与所成角的余弦值为，求到平面的距离.
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2024-01-22更新
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2037次组卷
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6卷引用：山东省泰安市新泰第一中学老校区（新泰中学）2024届高三上学期高考模拟数学试题
名校
解题方法
4 . 如图，
为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，
为底面圆的内接正三角形，且边长为
，点在母线上，且
，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
(3)若点
为线段上的动点．当直线与平面
所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离．
为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，． (1)求证：
平面；(2)求证：平面
平面(3)若点
为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离．
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2023-10-01更新
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2837次组卷
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12卷引用：2023届山东省潍坊市高三三模数学试题
2023届山东省潍坊市高三三模数学试题山东省德州市第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题山东省济宁市泗水县2023-2024学年高二上学期期中数学试题江苏省常州市华罗庚中学2023-2024学年高三夏令营学习能力测试数学试题黑龙江省哈尔滨市兆麟中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题广东省广州市第八十九中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题安徽省淮南市兴学教育2023-2024学年高二上学期第二次月考模拟数学试题（已下线）第05讲 空间向量及其应用（练习）（已下线）1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题【第三课】上海市东华大学附属奉贤致远中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（已下线）难关必刷01 空间向量的综合应用-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）专题03 立体几何大题
解题方法
5 . 已知平面四边形ABCE（图1）中，
，
均为等腰直角三角形，M，N分别是AC，BC的中点，
，
，沿AC将翻折至
位置（图2），拼成三棱锥D-ABC.
(1)求证：平面
平面
；
(2)当二面角
的二面角为60°时，
①求直线
与平面所成角的正弦值；
②求C点到面ABD的距离.
，均为等腰直角三角形，M，N分别是AC，BC的中点，，，沿AC将翻折至位置（图2），拼成三棱锥D-ABC.(1)求证：平面
平面；(2)当二面角
的二面角为60°时，①求直线
与平面所成角的正弦值；②求C点到面ABD的距离.
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名校
解题方法
6 . 在四棱锥中，平面
平面，
，为的中点.
(1)求证：
；
(2)若
，
，
，
，点在棱上，直线与平面所成角为
，求点到平面
的距离.
中，平面平面，，为的中点.(1)求证：
；(2)若
，，，，点在棱上，直线与平面所成角为，求点到平面的距离.
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2023-04-17更新
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2367次组卷
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6卷引用：山东省淄博实验中学2023届高三第三次模拟考试数学试题
山东省淄博实验中学2023届高三第三次模拟考试数学试题广东省茂名市2023届高三二模数学试题（已下线）专题04 空间向量与立体几何（已下线）押新高考第20题 立体几何专题16空间向量与立体几何（解答题）黑龙江省哈尔滨市第一中学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题
解题方法
7 . 如图，直四棱柱中，
，
与
交于
为棱
上一点，且
，点
到平面
的距离为
.
(1)判断
是否在平面
内，并说明理由；
(2)求平面
与平面
所成角的余弦值.
中，，与交于为棱上一点，且，点到平面的距离为.(1)判断
是否在平面内，并说明理由；(2)求平面
与平面所成角的余弦值.
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2023-02-22更新
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1490次组卷
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2卷引用：山东省菏泽市2023届高三下学期一模联考数学试题
名校
8 . 如图，在三棱柱
中，平面平面
，
，四边形是边长为
的菱形，
.
(1)证明：
；
(2)若点到面
的距离为
，求平面
和平面
夹角的余弦值.
中，平面平面，，四边形是边长为的菱形，.(1)证明：
；(2)若点
到面的距离为，求平面和平面夹角的余弦值.
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2022-05-31更新
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1447次组卷
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5卷引用：山东省泰安肥城市2022届高三下学期5月高考适应性训练数学试题（三）
9 . 在正方体中，E为
的中点，过
的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱
上的动点．
时，
平面
，试确定动点F在棱上的位置，并说明理由；
(2)若
，求点D到平面AEF的最大距离．
中，E为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱上的动点．
时，平面，试确定动点F在棱上的位置，并说明理由；(2)若
，求点D到平面AEF的最大距离．
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2022-05-30更新
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1391次组卷
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4卷引用：山东省临沂市2022届高三下学期三模数学试题
解题方法
10 . 如图，已知三棱柱的棱长均为2，
，
．
(1)证明：平面
平面ABC；
(2)设M为侧棱上的点，若平面
与平面ABC夹角的余弦值为，求点M到直线
距离．
的棱长均为2，，．(1)证明：平面
平面ABC；(2)设M为侧棱
上的点，若平面与平面ABC夹角的余弦值为，求点M到直线距离．
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