1 . 如图，在直三棱柱中，，侧面是正方形，且平面平面．
   
(1)求证：；
(2)当AC与平面所成的角为，在线段上是否存在点E，使平面ABE与平面BCE的夹角为?说明理由．

2 . 如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，为的中点，为线段上的点.

(1)若为线段的中点，求证：//平面；
(2)当时，求平面与平面夹角的余弦值的范围.

3 . 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．

(1)证明：；
(2)当D为中点时，求面与面所成的二面角的正弦值．

4 . 如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，．分别是的中点，且，平面平面．

（1）证明：平面；
（2）已知三棱锥的体积为，求二面角的大小．

5 . 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，.

（1）求证：平面；
（2）在棱AB上是否存在一点F，使得二面角的大小为？如果存在，确定点F的位置；如果不存在，说明理由.

6 . 已知四棱锥中，底面为梯形，，，，，，．

（1）若为的中点，求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．

7 . 某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁，其底面边长为4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为的圆柱体的四分之一．

（1）当圆弧E₂F₂（包括端点）上的点P与B₁的最短距离为5时，证明：DB₁⊥平面D₂EF．
（2）若D₁D₂＝3．当点P在圆弧E₂E₂（包括端点）上移动时，求二面角P﹣A₁C₁﹣B₁的正切值的取值范围．

8 . 如图，已知⊙O的直径AB=3，点C为⊙O上异于A，B的一点，平面ABC，且，点M为线段VB的中点.

（1）求证：平面VAC；
（2）若AB与平面VAC所成角的余弦值为，求二面角的余弦值.

9 . 如图1，在梯形中，，，为中点，是与的交点，将沿翻折到图2中的位置得到四棱锥．

（1）求证：
（2）若，求二面角的余弦值．

10 . 如图，已知正方形的边长为，，将正方形沿对角线折起，得到三棱锥.

     （I）求证：平面平面；
     （II）求三棱锥的体积最大时的二面角B-AC-D的余弦值.

(Ⅲ)若三棱锥的体积为，求的长.