1 . 如图所示，在正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，点O是AC与BD的交点，点E是线段OD₁上的一点.

（1）若点E为OD₁的中点，求直线OD₁与平面CDE所成角的正弦值；
（2）是否存在点E，使得平面CDE⊥平面CD₁O？若存在，请指出点E的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.

2 . 如图，四棱锥的底面是矩形，平面平面，.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设，若，且二面角的余弦值为，求的值.

3 . 在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是一个菱形，且∠ABC，AB＝2，PA⊥平面ABCD．

（1）若Q是线段PC上的任意一点，证明：平面PAC⊥平面QBD．
（2）当平面PBC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为时，求PA的长．

4 . 如图，在四棱锥中，，，，、分别为棱、的中点，.

（1）证明：平面平面；
（2）若二面角的大小为45°，求直线与平面所成角的正弦值.

5 . 已知，图中直棱柱的底面是菱形，其中.又点分别在棱上运动，且满足：，.

（1）求证：四点共面，并证明∥平面.
（2）是否存在点使得二面角的余弦值为？如果存在，求出的长；如果不存在，请说明理由.

6 . 如图，四棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形且垂直于底面，，，是的中点.

（1）求证：直线平面；
（2）点在棱上，且二面角的余弦值为，求直线与底面所成角的正弦值.

7 . 如图，在四棱锥中，

（1）求证：平面平面
（2）已知点在线段上，且，若平面与平面所成的二面角大小为，求的值

8 . 如图，四边形为矩形，和均为等腰直角三角形，且，.

(1)求证：平面；
(2)设，问是否存在，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

9 . 如图1，与是同处在同一个平面内的两个全等的直角三角形，，连接是边是上的一点，过作，交于点，沿将向上翻折，得到如图2所示的六面体

（1）求证：；
（2）设，若平面底面，且平面与平面所成的角的余弦值为，求的值.

10 . 如图，在梯形ABCD中，，，，为梯形外一点，且平面.

（1）求证：平面；
（2）当二面角的平面角的余弦值为时，求这个四棱锥的体积.