1 . 已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值；
(3)过点的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点.

2 . 已知椭圆经过点，O为坐标原点，平行于OM的直线l在y轴上的截距为.
（1）当时，判断直线l与椭圆的位置关系（写出结论，不需证明）；
（2）当时，P为椭圆上的动点，求点P到直线l距离的最小值；
（3）如图，当l交椭圆于A、B两个不同点时，求证：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

3 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，过右焦点的直线与椭圆相交于（异于）两点.
(1)若直线的斜率为1，求；
(2)若直线与直线相交于点，求证：三点共线.

4 . 动点与定点的距离和点到定直线的距离之比是常数.记点的轨迹为，过点且不与轴重合的直线交于，两点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设的左顶点为，直线，和直线分别交于点，，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

6 . 已知双曲线的一条渐近线为，其虚轴长为为双曲线上任意一点．

(1)求双曲线的方程；
(2)求证：到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；
(3)若双曲线的左顶点为，右焦点为，求的最小值．

7 . 已知圆，直线．
(1)试确定圆的圆心和半径；
(2)求证：直线恒过定点；
(3)直线被圆截得的弦何时最长，何时最短？并求得截得的弦长最短时的值以及最短弦长．

8 . 已知直线l：.
(1)求证：无论k为何值，直线l：恒过定点；
(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求k的值；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值和此时直线l的方程.

9 . 直线，圆.
(1)证明：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
(2)当直线被圆截得的弦最短时，求此时的方程；
(3)设直线与圆交于两点，当的面积最大时，求直线方程.

10 . 已知直线和圆．
(1)求证：直线恒过一定点；
(2)试求当为何值时，直线被圆所截得的弦长最短；