名校
解题方法
1 . 如图，已知椭圆
的左、右顶点分别为
，
，其离心率为
，椭圆上的点到焦点的最短距离为1.过平面上一点
作椭圆的切线
，
，当直线与的斜率都存在时，它们的斜率之积是
，当其中一条切线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0，记点的轨迹为曲线
.直线
，
分别交椭圆于点
，
.的标准方程；
(2)求曲线的方程；
(3)求
面积的最大值.
的左、右顶点分别为，，其离心率为，椭圆上的点到焦点的最短距离为1.过平面上一点作椭圆的切线，，当直线与的斜率都存在时，它们的斜率之积是，当其中一条切线的斜率不存在时，则另一条直线的斜率为0，记点的轨迹为曲线.直线，分别交椭圆于点，.
的标准方程；(2)求曲线
的方程；(3)求
面积的最大值.
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2 . 已知点是圆
上的动点，
，是线段
上一点，且
，设点的轨迹为
.
(1)求轨迹的方程；
(2)设不过原点的直线
与交于
两点，且直线
的斜率的乘积为，平面上一点
满足
，连接
交于点（点在线段上且不与端点重合）.试问
的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由.
是圆上的动点，，是线段上一点，且，设点的轨迹为.(1)求轨迹
的方程；(2)设不过原点的直线
与交于两点，且直线的斜率的乘积为，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合）.试问的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由.
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2024-06-03更新
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859次组卷
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2卷引用：湖北省武汉市武昌区2024届高三下学期5月质量检测数学试卷
3 . 已知双曲线
的左､右焦点分别为
，焦距为4，虚半轴长为1.如图，直线与双曲线的右支交于两点
，其中点在第一象限.与关于原点对称，连接
与
，其中垂直于
的平分线
，垂足为.的标准方程；
(2)求证：直线与直线
的斜率之积为定值；
(3)求
的最小值.
的左､右焦点分别为，焦距为4，虚半轴长为1.如图，直线与双曲线的右支交于两点，其中点在第一象限.与关于原点对称，连接与，其中垂直于的平分线，垂足为.
的标准方程；(2)求证：直线
与直线的斜率之积为定值；(3)求
的最小值.
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4 . 已知
，圆心
是原点，点
，以线段
为直径的圆内切于
，动点的轨迹记为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若直线
，点
，直线过点与曲线交于
两点，与直线交于点
.
①若
，求直线的斜率；
②若记直线
的斜率分别为
问
是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由.
，圆心是原点，点，以线段为直径的圆内切于，动点的轨迹记为曲线.(1)求曲线
的方程；(2)若直线
，点，直线过点与曲线交于两点，与直线交于点.①若
，求直线的斜率；②若记直线
的斜率分别为问是否为定值？如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由.
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解题方法
5 . 已知抛物线
的焦点为
，
为
上任意一点，且
的最小值为1.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，记直线
的斜率分别为
，且满足
.
①求点的轨迹方程；
②试探究：是否存在一个圆心为
，半径为1的圆，使得过可以作圆
的两条切线
，切线分别交抛物线于不同的两点
和点
，且
为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由.
的焦点为，为上任意一点，且的最小值为1.(1)求抛物线
的方程；(2)已知
为平面上一动点，且过能向作两条切线，切点为，记直线的斜率分别为，且满足.①求点
的轨迹方程；②试探究：是否存在一个圆心为
，半径为1的圆，使得过可以作圆的两条切线，切线分别交抛物线于不同的两点和点，且为定值？若存在，求圆的方程，不存在，说明理由.
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6 . 平面直角坐标系
中，动点
满足
，点P的轨迹为C，过点
作直线l，与轨迹C相交于A，B两点．
(1)求轨迹C的方程；
(2)求
面积的取值范围；
(3)若直线l与直线
交于点M，过点M作y轴的垂线，垂足为N，直线NA，NB分别与x轴交于点S，T，证明：
为定值．
中，动点满足，点P的轨迹为C，过点作直线l，与轨迹C相交于A，B两点．(1)求轨迹C的方程；
(2)求
面积的取值范围；(3)若直线l与直线
交于点M，过点M作y轴的垂线，垂足为N，直线NA，NB分别与x轴交于点S，T，证明：为定值．
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名校
解题方法
7 . 已知
，
，M是圆O：
上任意一点，
关于点M的对称点为N，线段
的垂直平分线与直线
相交于点T，记点T的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)设
（
）为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G，H两点（异于E点）.若直线GE，HE的斜率之积为2，求证：直线l过定点.
，，M是圆O：上任意一点，关于点M的对称点为N，线段的垂直平分线与直线相交于点T，记点T的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；
(2)设
（）为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G，H两点（异于E点）.若直线GE，HE的斜率之积为2，求证：直线l过定点.
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2024-05-24更新
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552次组卷
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2卷引用：湖北省荆州市部分重点高中2024届高考适应性考试数学试题
名校
解题方法
8 . 如图，四边形
为坐标原点
是矩形，且
，
，点
，点
，
分别是
，
的
等分点，直线
和直线
的交点为
在同一个椭圆C上，求出该椭圆C的方程；
(2)已知点P是圆
上任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别是A，B，求
面积的取值范围.
注：椭圆
上任意一点
处的切线方程是：
为坐标原点是矩形，且，，点，点，分别是，的等分点，直线和直线的交点为
在同一个椭圆C上，求出该椭圆C的方程；(2)已知点P是圆
上任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别是A，B，求面积的取值范围.注：椭圆
上任意一点处的切线方程是：
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2024-05-24更新
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519次组卷
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2卷引用：湖北省第九届2024届高三下学期4月调研模拟考试数学试卷
解题方法
9 . 已知椭圆
的离心率为
，，
是C的左、右焦点，直线是其右准线，P是l上的一动点，Q点在C上.
(1)求C的方程.
(2)若直线OQ、PQ的斜率之积为
，平面内是否存在定点T满足
恒成立.若存在求出T的坐标，若不存在说明理由.
(3)若
，过P的动直线与C交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于M，N的点H，满足
，证明H恒在一条直线上并求出这条直线的方程.
的离心率为，，是C的左、右焦点，直线是其右准线，P是l上的一动点，Q点在C上.(1)求C的方程.
(2)若直线OQ、PQ的斜率之积为
，平面内是否存在定点T满足恒成立.若存在求出T的坐标，若不存在说明理由.(3)若
，过P的动直线与C交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于M，N的点H，满足，证明H恒在一条直线上并求出这条直线的方程.
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名校
10 . 已知平面上到定点
的距离与到定直线：
的距离之比为常数
的点的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程；
(2)把曲线及直线都向左平移5个单位长度，得到曲线
及直线，写出及的方程（只写出结果）；
(3)若，是上的两点，且
.直线交直线于点
，求直线
与直线
所成锐角的余弦值.
的距离与到定直线：的距离之比为常数的点的轨迹为曲线.(1)求曲线
的方程；(2)把曲线
及直线都向左平移5个单位长度，得到曲线及直线，写出及的方程（只写出结果）；(3)若
，是上的两点，且.直线交直线于点，求直线与直线所成锐角的余弦值.
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