1 . 我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都有令人惊奇的光学性质，且这些光学性质都与它们的焦点有关．如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点（如图所示，其中
是反射镜面也是过点
处的切线）．已知双曲线
（
，
）的左右焦点分别为
，
，从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处（点P在第一象限），经双曲线反射后过点
．
当
，
，且直线
的倾斜角为
时，求反射光线
所在的直线方程；
(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点
处，且
三点共线，经双曲线反射后过点
，
，
，延长
，
分别交两条渐近线于
，点
是
的中点，求证：
为定值．
(3)在（2）的条件下，延长交y轴于点
，当四边形
的面积为8时，求
的方程．
是反射镜面也是过点处的切线）．已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处（点P在第一象限），经双曲线反射后过点．
当
，，且直线的倾斜角为时，求反射光线所在的直线方程；(2)从
处出发的光线照射到双曲线右支上的点处，且三点共线，经双曲线反射后过点，，，延长，分别交两条渐近线于，点是的中点，求证：为定值．(3)在（2）的条件下，延长
交y轴于点，当四边形的面积为8时，求的方程．
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名校
解题方法
2 . 已知椭圆
的右焦点
恰为抛物线
的焦点，过点且与
轴垂直的直线截抛物线､椭圆所得的弦长之比为
.
(1)求
的值；
(2)已知为直线
上任一点，
分别为椭圆的上､下顶点，设直线
与椭圆的另一交点分别为
，求证：直线
过定点.并求出该定点.
的右焦点恰为抛物线的焦点，过点且与轴垂直的直线截抛物线､椭圆所得的弦长之比为.(1)求
的值；(2)已知
为直线上任一点，分别为椭圆的上､下顶点，设直线与椭圆的另一交点分别为，求证：直线过定点.并求出该定点.
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解题方法
3 . 已知椭圆
过点
，焦距为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线
：
与椭圆交于异于的两点
，直线
分别与直线
交于点
两点，
为坐标原点且
，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
过点，焦距为.(1)求椭圆
的方程；(2)直线
：与椭圆交于异于的两点，直线分别与直线交于点两点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
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2023高二上·全国·专题练习
4 . 如图，经过原点O的直线与圆
相交于A，B两点，过点
且与
垂直的直线与圆M的另一个交点为D．
(1)当点B坐标为
时，求直线
的方程；
(2)记点A关于x轴对称点为F（异于点A，B），求证：直线
恒过x轴上一定点，并求出该定点坐标；
(3)求四边形
的面积S的取值范围．
相交于A，B两点，过点且与垂直的直线与圆M的另一个交点为D．(1)当点B坐标为
时，求直线的方程；(2)记点A关于x轴对称点为F（异于点A，B），求证：直线
恒过x轴上一定点，并求出该定点坐标；(3)求四边形
的面积S的取值范围．
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5 . 已知椭圆
，右焦点
，直线
，过右焦点的直线(不与轴重合)与椭圆交于
两点，过点作
，垂足为.
(1)求证：直线
过定点
，并求出定点的坐标；
(2)点为坐标原点，求
面积的最大值.
，右焦点，直线，过右焦点的直线(不与轴重合)与椭圆交于两点，过点作，垂足为.(1)求证：直线
过定点，并求出定点的坐标；(2)点
为坐标原点，求面积的最大值.
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2024-01-10更新
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375次组卷
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2卷引用：四川省达州市达川区铭仁园学校2023-2024学年高二上学期第四次月考数学试题
2024高三·全国·专题练习
解题方法
6 . 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点
，
在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆的左、右顶点分别为
，
，，为椭圆上异于，的两点，直线
不过且不与坐标轴垂直，点关于原点的对称点为
，直线
与直线
相交于点
，证明：直线
与直线的交点在定直线上．
的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，点，在椭圆上．(1)求椭圆
的标准方程；(2)若椭圆
的左、右顶点分别为，，，为椭圆上异于，的两点，直线不过且不与坐标轴垂直，点关于原点的对称点为，直线与直线相交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上．
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名校
解题方法
7 . 在平面直角坐标系
中，设直线：
．
(1)求证：直线经过第一象限；
(2)当原点到直线的距离最大时，求直线的方程．
中，设直线：．(1)求证：直线
经过第一象限；(2)当原点
到直线的距离最大时，求直线的方程．
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2023-12-01更新
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171次组卷
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2卷引用：江苏省盐城市响水中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题
解题方法
8 . 已知椭圆的半焦距为
，且过点
.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线
交椭圆于
两点，且线段
的中点在直线
上，求证：线段的中垂线恒过定点.
的半焦距为，且过点.(1)求椭圆的方程；
(2)设直线
交椭圆于两点，且线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点.
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2023-11-25更新
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532次组卷
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3卷引用：贵州省贵阳市五校2023届高三联合考试（四）数学（理）试题
名校
9 . 设直线的方程为
.
(1)求证：不论为何值，直线必过定点；
(2)若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
的方程为.(1)求证：不论
为何值，直线必过定点；(2)若
在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
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10 . 已知圆
，直线
．
(1)试确定圆的圆心和半径；
(2)求证：直线恒过定点；
(3)直线被圆截得的弦何时最长，何时最短？并求得截得的弦长最短时
的值以及最短弦长．
，直线．(1)试确定圆
的圆心和半径；(2)求证：直线
恒过定点；(3)直线
被圆截得的弦何时最长，何时最短？并求得截得的弦长最短时的值以及最短弦长．
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