1 . 已知双曲线的左、右顶点分别为，，渐近线方程为，过左焦点的直线与交于，两点．
(1)设直线，的斜率分别为，，求的值；
(2)若直线与直线的交点为，试问双曲线上是否存在定点，使得的面积为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．

3 . 已知双曲线E：的左，右焦点分别为，离心率为2，点B为，直线与圆相切.
(1)求双曲线E方程；
(2)过的直线l与双曲线E交于M，N两点，
①若，求的面积取值范围：
②若直线l的斜率为k，是否存在双曲线E上一点Q以及x轴上一点P，使四边形PMQN为菱形？若存在，求出；若不存在，请说明理由.

4 . 已知双曲线E：的一条渐近线为，左顶点为A，右焦点为，点B，C是双曲线E的右支上相异的两点，直线AB，AC分别与直线l：交于M，N两点，且以线段MN为直径的圆恰过点F．
(1)求双曲线E的标准方程．
(2)求面积的最小值．

5 . 已知双曲线：的渐近线为，焦距为，直线与的右支及渐近线的交点自上至下依次为、、、.
(1)求的方程；
(2)证明：；
(3)求的取值范围.

6 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是上一点.若为的内心，且.
(1)求的方程；
(2)点A是在第一象限的渐近线上的一点，且轴，点是右支上的一动点，在点处的切线与直线相交于点，与直线相交于点.证明：为定值.

7 . 已知双曲线的虚轴长为4，渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过右焦点的直线与双曲线的左､右两支分别交于点，点是线段的中点，过点且与垂直的直线交直线于点，点满足，求四边形面积的最小值.

8 . 在平面直角坐标系中，圆，，是圆上的一个动点，线段的垂直平分线与直线交于点．记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若动直线与曲线相交于、两点，设，，且，，，记直线、的斜率分别为、，若，求点到直线的距离的取值范围．

9 . 已知双曲线的右顶点，它的一条渐近线的倾斜角为.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作直线交双曲线于，两点（不与点重合），求证：；
(3)若过双曲线上一点作直线与两条渐近线相交，交点为，，且分别在第一象限和第四象限，若，，求面积的取值范围.

10 . 已知双曲线，，分别为其左、右焦点．

(1)求，的坐标和双曲线的渐近线方程；
(2)如图，是双曲线右支在第一象限内一点，圆是△的内切圆，设圆与，，分别切于点，，，当圆的面积为时，求直线的斜率；
(3)是否存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，且使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．