1 . 已知抛物线的焦点为，且为圆的圆心．过点的直线交抛物线于圆分别为，，，（从上到下）．

(1)求抛物线方程并证明是定值；
(2)若，的面积比是，求直线的方程．

2 . 已知P(1，2)在抛物线C：y²＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．

3 . 已知抛物线上一点到焦点的距离．
(1)求C的方程；
(2)点、在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

4 . 已知抛物线的焦点为，过点作倾斜角为45°的直线与抛物线交于两点，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)设为抛物线上不同的三点，且，若点的横坐标为8，证明：直线过定点.

5 . 如图，已知点是焦点为F的抛物线上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为.

(1)求抛物线方程；
(2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值；
(3)令焦点F到直线AB的距离d，求的最大值.

6 . 设抛物线上一点M的横坐标为，证明M到抛物线焦点的距离为，并总结出关于抛物线其他形式的标准方程的类似结论.

7 . 已知抛物线上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若为抛物线上异于原点的两点，直线的斜率分别为，，若直线过定点．证明：为定值．

8 . 已知抛物线C：（）与圆O：相交于A，B两点，且点A的横坐标为.F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.
（1）求抛物线C的方程.
（2）过点M，N作抛物线C的切线，，是，的交点，求证：点P在定直线上.

9 . 已知椭圆的离心率为，椭圆C的一个顶点是抛物线的焦点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P（4，1）的动直线l与椭圆C交于A，B两点，在线段AB上一点存在点Q，满足，证明：点Q在一定直线上.

10 . 已知抛物线的准线与轴的交点为.
（1）求的方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点.求证：为定值.