1 . 在平面直角坐标系中，已知圆心为的动圆过点，且在轴上截得的弦长为4，记的轨迹为曲线．

(1)求曲线的方程；
(2)已知及曲线上的两点和，直线经过定点，直线的斜率分别为，求证：为定值．

2 . 已知圆：的圆心为，圆：的圆心为，动圆与圆和圆均外切，记动圆圆心的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)若是上一点，且，求的面积.

3 . 已知动点到点的距离是到点的距离的2倍，则动点的轨迹所围成图形的面积为______．

4 . 已知圆的圆心为，过点的直线交圆于、两点，过点作的平行线，交直线于点，则点的轨迹为（    ）

A．直线

B．圆

C．椭圆

D．双曲线

5 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左，右焦点分别为，，过点且不与轴重合的直线与椭圆交于，两点（点在点，之间）.
(1)记直线，的斜率分别为，，求的值；
(2)设直线与交于点，求的值.

6 . 已知定点，，动点M满足.
(1)求动点M的轨迹C的方程；
(2)设，过点T作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点．
（i）过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值；
（ii）设曲线C与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．

8 . 平面直角坐标系中，为动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限，且，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)已知点，，设点与点关于原点对称，的角平分线为直线，过点作的垂线，垂足为，交于另一点，求的最大值.

9 . 已知点是曲线上任意一点，，连接并延长至，使得，求动点Q的轨迹方程____________．

10 . 从抛物线上各点向x轴作垂线段.
(1)求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线；
(2)直线与抛物线交于A、B两点，求证：原点O在以AB为直径的圆上.