1 . 已知分别是椭圆的左、右焦点，A是C的右顶点，，P是椭圆C上一点，M，N分别为线段的中点，O是坐标原点，四边形OMPN的周长为4．
(1)求椭圆C的标准方程
(2)若不过点A的直线l与椭圆C交于D，E两点，且，判断直线l是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

2 . 已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为，椭圆C的左、右焦点分别为，且到直线的距离为，若直线l与C有且只有一个公共点P，且点P不在x轴上，过点作l的垂线，垂足为Q，
(1)求椭圆C的方程；
(2)求面积的最大值．

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）点在圆上，且在第一象限，过点作圆的切线交椭圆于、两点，不经过，证明：的周长为定值.

4 . 已知椭圆的焦距为 ,短轴长为.
(1)求的方程;
(2)直线与相切于点M,与两坐标轴的交点为A与B,直线经过点M且与垂直,与的另一个交点为N.当取得最小值时,求的面积.

5 . 设椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为，椭圆的离心率是，的面积是.
（1）求椭圆的标准方程.
（2）直线与椭圆交于，两点（异于点），若直线与直线的斜率之和为1，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.

6 . 设是圆上的任意一点，是过点且与轴垂直的直线，是直线与轴的交点，点在直线上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知直线与曲线交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点.