1 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2．
   
(1)求椭圆的方程；
(2)若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足：，连接交椭圆于点为坐标原点，证明：为定值；
(3)若点为圆上的动点，点，求的最小值．

2 . 阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆：的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点的直线与椭圆C交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线交于点F，试证明B，Q，F三点共线.

3 . 若方程表示的曲线为，则下列说法正确的有（       ）

A．若，则曲线为椭圆

B．若曲线为双曲线，则或

C．若曲线为椭圆，则椭圆的焦距为

D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则

4 . 已知椭圆：，的左右焦点，是双曲线的左右顶点，的离心率为，的离心率为，点在上，过点E和，分别作直线交椭圆于，和，点，如图.

(1)求，的方程；
(2)求证：直线和的斜率之积为定值；
(3)求证：为定值.

5 . 已知椭圆长轴长为4，A，B分别为左、右顶点，P为椭圆上不同于A，B的动点，且点在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线AP与直线（m为常数）交于点Q，
①当时，设直线OQ的斜率为，直线BP的斜率为．求证：为定值；
②过Q与PB垂直的直线l是否过定点？如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由．

6 . 如图，为坐标原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为，，，的面积为1．

（1）求的方程；
（2）若，是椭圆上的两点，且，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值．

7 . 如图，椭圆：（）的离心率为，直线：与只有一个公共点.

（1）求椭圆的方程.
（2）不经过原点的直线与平行且与交于，两点，记直线，的斜率分别为，，证明：为定值.

8 . 在平面直角坐标系中，椭圆E：（）的长轴长为4，左准线l的方程为.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线过椭圆E的左焦点，且与椭圆E交于A，B两点.
①若，求直线的方程；
②过A作左准线l的垂线，垂足为，点，求证：，B，G三点共线.

9 . 已知椭圆C的焦点为，过F₂的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为

A．

B．

C．

D．

10 . 如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（       ）

A．圆

B．双曲线

C．抛物线

D．椭圆