1 . 已知双曲线的左､右焦点分别为，，且与椭圆有相同的焦点，点到直线的距离为.
(1)求的标准方程；
(2)直线与交于两点，点是的平分线上一动点，且，证明：.

2 . 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点在坐标轴上，短轴长为4，离心率为；
（2）与椭圆有相同的焦点，且过点.

3 . 已知抛物线的焦点F与椭圆的右焦点重合，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）记抛物线C的准线与x轴的交点为H，试问：是否存在，使得，且成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由.

4 . 已知椭圆：（）的焦距为，且经过点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）、是椭圆上两点，线段的垂直平分线经过，求面积的最大值（为坐标原点）．

5 . 已知椭圆的长轴长为4．
（1）若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y＝x+2相切，求椭圆焦点坐标；
（2）若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为k_PM，k_PN，当时，求椭圆的方程．

6 . 已知椭圆的左右焦点为，抛物线C：以F₂为焦点且与椭圆相交于点M，直线F₁M与抛物线C相切
（1）求抛物线C的方程和点M的坐标；
（2）过F₂作抛物线C的两条互相垂直的弦AB、DE，设弦AB、DE的中点分别为F、N，求证直线FN恒过定点；

7 . 在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为的圆C与直线y=x相切于
坐标原点O.椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段
OF的长，若存在求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．