1 . 已知点，分别为椭圆：（）的左、右顶点，点，直线交于点，，且是等腰直角三角形．

(1)求椭圆的方程；
(2)过圆上一点（不在坐标轴上）作椭圆的两条切线．记、、的斜率分别为、、，求证：．

2 . 已知椭圆C：的右焦点为，右顶点为A，直线l：与x轴交于点M，且，
(1)求C的方程；
(2)B为l上的动点，过B作C的两条切线，分别交y轴于点P，Q，
①证明：直线BP，BF，BQ的斜率成等差数列；
②⊙N经过B，P，Q三点，是否存在点B，使得，？若存在，求；若不存在，请说明理由.

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，，长轴的左、右端点分别为，，短轴的上、下端点分别为，，设四边形的面积为S，且．
(1)求，的值；
(2)过点作直线与交于，两点（点在轴上方），求证：直线与直线的交点在一条定直线上．

4 . 已知椭圆
(1)椭圆的左右顶点分别为，点为椭圆上异于的任意一点．证明：直线与直线的斜率乘积为定值；
(2)过点的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

5 . 已知椭圆C：，为左右两个焦点.
(1)写出此椭圆的长轴长，短轴长，离心率
(2)若一点P到左右焦点的距离之比为，求点P的轨迹方程
(3)设A为椭圆长轴的左端点，为椭圆上异于长轴端点的两点，记直线的斜率分别为且，证明直线恒过x轴一点，并求出此点坐标.

6 . 已知椭圆过点，长轴长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于不同的两点、，直线、分别与直线交于点、，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标．

8 . 已知椭圆的方程为（常数），点A为椭圆短轴的上顶点，点是椭圆上异于点A的一个动点．若动点到定点A的距离的最大值仅在点为短轴得另一顶点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知.
(1)若，判断椭圆是否为“圆椭圆”；
(2)若椭圆是“圆椭圆”，求的取值范围；
(3)已知椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，点关于原点的对称点为点（点也异于点A），且直线、分别与轴交于、两点．试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论．

9 . 设双曲线的右焦点是椭圆的右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为3.
(1)求双曲线的方程；
(2)为双曲线上一定点，为双曲线上两个动点，直线的斜率满足，求证：直线恒过一个定点，并求出该定点的坐标.

10 . 如图，已知点分别是椭圆的左､右顶点，点是椭圆与抛物线的交点，直线分别与抛物线交于两点(不同于).

（1）求证：直线垂直轴；
（2）设坐标原点为，分别记的面积为，当为钝角时，求的最大值.