1 . 已知点是圆上一动点，点，线段的垂直平分线交线段于点.当点运动时，设点的轨迹为E.
(1)求点的轨迹方程；
(2)已知过点的直线分别交E于和，且两直线的斜率之积为1，设的中点分别为，探究轴上是否存在定点，使得，若存在，求出定点；若不存在，说明理由.

2 . 已知是圆：上一动点（为圆心），点的坐标为，线段的垂直平分线交于点，动点的轨迹为．
(1)求曲线的方程；
(2)设是曲线上任意一点，延长至，使，点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于，两点，求面积的最大值．

3 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为为椭圆上一点，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线与椭圆交于两点（其中点位于轴上方），记直线的斜率分别为，试判断是否为定值，如果是定值，求出定值，若果不为定值，请说明理由.

4 . 已知圆，定点是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点E．
   
(1)求点E的轨迹方程；
(2)过点，且与x轴不重合的直线l与E的轨迹交于A，B两点，求的内切圆面积的最大值．

5 . 已知两圆.一动圆与圆相外切，与圆相内切.设动圆的圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，其中为的等比中项，以为直径的圆的面积为，以为直径的圆的面积为的面积为，求的最小值.

6 . 已知分别是椭圆的左､右焦点，是椭圆上的一点，当时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的上下顶点分别为，过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.

7 . 在平面直角坐标系中，已知圆E：和定点，P为圆E上的动点，线段的垂直平分线与直线交于点Q，设动点Q的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若为曲线上两点，点在直线上，试在①直线过点；②；③直线过点三者中选择其中两者作为条件，剩下的一个作为结论，并证明其成立.

8 . 已知，圆，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过作一条不平行于坐标轴的直线交曲线于两点，过点作轴的垂线交于点，求面积的最大值．

9 . 已知是圆上的动点，为定点，线段的垂直平分线交线段于点，点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过点的动直线交曲线于不同的A，B两点，为线段上一点，满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程.