1 . 已知椭圆：的上、下顶点分别为，，点在线段上运动（不含端点），点，直线与椭圆交于，两点（点在点左侧），中点的轨迹交轴于，两点，且．

(1)求椭圆的方程；
(2)记直线，的斜率分别为，，求的最小值．

2 . 如图，已知椭圆的左、右顶点分别是，且经过点， 直线 恒过定点且交椭圆于两点，为的中点.

(1)求椭圆的标准方程;
(2)记的面积为S，求S的最大值.

3 . 已知椭圆：的长轴长为4，过的焦点且垂直长轴的弦长为1，A是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于C，D两点，交y轴于点P，，，记，，的面积分别为S，，.

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：为定值；
(3)若，当时，求实数范围.

4 . 已知椭圆的离心率，过点和的直线与原点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知定点，若直线与椭圆交于C、D两点，问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由.

5 . 已知椭圆的长轴长为4，离心率为，一动圆过椭圆上焦点，且与直线相切．

(1)求椭圆的方程及动圆圆心轨迹的方程；
(2)过作两条互相垂直的直线，，其中交椭圆于，两点，交曲线于，两点，求四边形面积的最小值．

7 . 椭圆的离心率为，焦距为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设是椭圆上的动点，过原点作圆的两条斜率存在的切线分别与椭圆交于点，求的最大值.

8 . 如图，已知椭圆.为坐标原点，为椭圆的右顶点，，在椭圆上，且四边形是正方形.

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点恰在线段上，求的取值范围.

9 . 已知椭圆的左、右焦点，，短轴长为，若为椭圆上的任意一点，且的最大值为5.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且与椭圆相切，为坐标原点，求的取值范围.

10 . 如图，已知是椭圆的左右焦点，椭圆的离心率为，直线过与椭圆交于两点，周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线也经过点且与椭圆交于两点，且l₁⊥l₂，

（i）求证：为定值，并求出该定值；
（ii）求四边形的面积取值范围